Es posible encontrar un límite inferior de esta integral $\displaystyle\int^A_0 (A-x)p(x)\ dx$?

Question

Es posible encontrar un límite inferior de esta integral? $\displaystyle\int^A_0 (A-x)p(x)\ dx$. Aquí $p(x)$ es una cierta distribución de probabilidad conocidos con la media y desviación estándar y $A$ es una constante.

Yo estaba tratando de simplificar esta como $A\displaystyle\int^A_0 p(x)\ dx - \displaystyle\int^A_0 xp(x)\ dx $. El límite inferior de la primera integral se puede encontrar utilizando la desigualdad de Markov pero ¿cómo encontrar el límite superior de la segunda integral? También, se esta obligado a ser fuerte?

Answer 1

Usted puede utilizar el Titular de la desigualdad para acotar la segunda. Debemos tener $$\int_{0}^{A} xf(x)dx\le (\int^{A}_{0}x^{2}dx)^{1/2}(\int^{A}_{0}f(x)dx)^{1/2}=(\frac{A^{3}}{3})^{1/2}(\int^{A}_{0}f(x)^{2}dx)^{1/2}$$ El máximo alcanza si y sólo si $f(x)$ es una función constante. Así que tenemos un estricto límite superior (si la desviación estándar no es cero), de esta manera. Creo que una mejor cota superior existe; pero no sé cómo.