No se trata tanto de necesitar otra definición como de entender cómo evoluciona el lenguaje matemático y cómo se utiliza realmente "en la naturaleza". En el ejemplo en cuestión, $E$ es denso en la bola $B$ puede considerarse como una abreviatura verbal de $E \cap B$ es un subconjunto denso de la bola $B$ ' $-$ que, cuando lo piensas, es casi lo único que podría razonablemente.
¿Cómo surge esta taquigrafía? Digamos que se tiene la idea de un conjunto $D$ en un espacio topológico $X$ siendo denso en $X$ según la definición que ha dado. Cualquier subconjunto $Y$ de $X$ puede considerarse como un espacio en sí mismo, con la topología del subespacio heredada de $X$ Así que ciertamente se puede hablar de un subconjunto de $Y$ siendo denso en $Y$ . Pero en algún momento se demuestra que $D$ es denso en $X$ si $\operatorname{cl}D = X$ Esta caracterización es demasiado útil para omitirla. Lo que ocurre cuando se intenta aplicar esta definición al subespacio $Y$ ? Es cierto que un conjunto $D \subseteq Y$ es denso en $Y$ si $\operatorname{cl}_Y D = Y$ pero si estás pensando en $Y$ como un subconjunto de $X$ más que como un espacio propio, es más conveniente mirar $\operatorname{cl}_X D$ que no es necesariamente $Y$ : puede ser un superconjunto propio de $Y$ . (Toma $X$ para ser $E^1$ , $Y$ para ser $(0,1)$ y $D$ para ser $\mathbb{Q} \cap (0,1)$ .)
Así, si no queremos molestarnos con diferentes cierres en diferentes conjuntos, es mucho más conveniente decir simplemente que un subconjunto $D$ de un conjunto $Y$ es denso en $Y$ si $\operatorname{cl}D \supseteq Y$ donde el operador de cierre es $\operatorname{cl}_X$ el cierre en todo el espacio $X$ . Y una vez que se llega a ese punto, a veces es conveniente separar la noción de denso en $Y$ de la noción de subconjunto de $Y$ más. Es decir, también podríamos decir que $D$ es denso en $Y$ si $\operatorname{cl}D \supseteq Y$ independientemente de que $D \subseteq Y$ . Entonces, por ejemplo, podemos decir simplemente que los racionales son densos en $(0,1)$ no tenemos que decir explícitamente "los racionales en $(0,1)$ '.
Muchos libros de texto, incluidos algunos muy buenos (Munkres, Dugundji, Willard) definen subconjunto denso de un espacio pero (por lo que puedo decir rápidamente) deja silenciosamente al lector que haga la generalización a subconjunto denso de un conjunto en un espacio y la posterior generalización a denso en un conjunto en un espacio o para recogerlos del contexto. Por supuesto, uno puede definir denso de forma más general. Por ejemplo, la obra de John Greever Teoría y ejemplos de topología de conjuntos de puntos da esta definición:
(2.14) Definición. Si $(X,\mathscr{T})$ es un espacio topológico y $A,B \subset X$ entonces $A$ es denso en $B$ si y sólo si $\overline{A} \supset B$ .
Observe que no requiere $A$ sea un subconjunto de $B$ : desde el principio está utilizando la forma más general de las tres que he considerado anteriormente. Si hubiera aprendido el concepto de Greever, no habría tenido problemas con el denso en una bola lenguaje. Pero ya sea con este concepto o con otro, al final te vas a encontrar con usos estándar que requieren un poco de interpretación o extrapolación de los que te han enseñado.
