Es bien sabido que hay continuas curvas de $f:I \to \mathbb R^2$ (donde $I \subset \mathbb R$ es un intervalo), cuya imagen tiene medida positiva (e.g de la curva de Peano). En algún sitio he leído que si se requiere que la curva se diferenciable evrywhere, a continuación, esto no puede suceder, pero si hemos de exigir a ser en casi todas partes diferenciables, entonces puede ocurrir! ¿Cómo se podría proceder a probar la primera declaración y dar un contraejemplo para el segundo?
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Deje $\phi : [0, 1] \to [0, 1]$ ser el Cantor-Lebesgue función, y $\alpha : [0, 1] \to \Bbb{R}^n$ ser un espacio de llenado de la curva.
Desde $\phi$ es estacionario fuera del conjunto de Cantor, es localmente constante en casi todas partes. Es decir, $\beta := \alpha \circ \phi$ también es localmente constante en todas partes, permitiendo que sea diferenciable una.e.. (De hecho, $\beta' = 0$.e.!) Por otro lado, $\phi$ es continua y surjective. Por lo tanto $\beta$ también es un camino continuo y la imagen de $\beta$ coincide con $\alpha$. Es decir, $\beta$ es también un espacio de llenado de la curva. Por lo tanto, esta sirve como un contra-ejemplo.
Deje $f : [0, 1] \to \Bbb{R}^n$ ser una curva diferenciable en $\Bbb{R}^n$ ($n \geq 2$). Deje $\Gamma = f([0, 1])$ ser la imagen de $f$$\Bbb{R}^n$.
Suponiendo que $|f'|$ es Lebesgue integrable, podemos probar la primera declaración.
Teorema. [7.21, Rudin] Si $f : [a, b] \to \Bbb{R}$ está en todas partes diferenciable y su derivada $f'$ es Lebesgue integrable, entonces $$ f(b) - f(a) = \int_{a}^{b} f'(t) \; dt. $$
Este teorema implica inmediatamente el siguiente corolario:
Corolario. Deje $f : [0, 1] \to \Bbb{R}^n$ estar en todas partes diferenciable y su derivada $f'$ es Lebesgue integrable. Entonces para cualquier $\epsilon > 0$, entonces existe una partición de $\Pi = \{ 0 = x_0 < \cdots < x_N = 1 \}$ tal que para $$\epsilon_k = \sup \{|f(x) - f(y)| : x, y \in [x_{k-1}, x_k] \}, \quad (1 \leq k \leq N)$$ tenemos $$\epsilon_k \leq \epsilon \quad \text{and} \quad \sum_{k=1}^{N} \epsilon_k \leq \| f' \|_1.$$
Prueba. Desde $f'$ es Lebesgue integrable, es absolutamente continua. Por lo tanto existe $\delta > 0$ de manera tal que cada vez que un subconjunto medible $E \subset [0, 1]$ satisface $|E| < \delta$,$\int_E |f'| < \epsilon$. Ahora vamos a $\Pi = \{x_k\}$ ser una partición de $[0, 1]$ en subintervalos con una longitud de menos de $\delta$. A continuación, para cada una de las $x_{k-1} \leq x < y \leq x_k$, $$ |f(y) - f(x)| = \left| \int_{x}^{y} f' \right| \leq \int_{x}^{y} |f'| \leq \int_{x_{k-1}}^{x_k} |f'| < \epsilon. $$ Así $$ \epsilon_k \leq \int_{x_{k-1}}^{x_k} |f'| < \epsilon $$ y la conclusión de la siguiente manera. ////
Observación. Si $f'$ es acotado, entonces es Lebesgue integrable. También, en este caso, la conclusión de que el Corolario de la siguiente manera directa por medio del teorema del valor.
Ahora vamos a $\epsilon > 0$ $\Pi$ ser una partición correspondiente de $[0, 1]$ por el Corolario. A continuación, podemos cubrir la $\Gamma$ por bolas $B_{2\epsilon_k}(f(x_k))$$k = 1, \cdots, N$. Así
$$ |\Gamma| \leq \sum_{k=1}^{N} \left|B_{2\epsilon_k}(f(x_k))\right| \leq \sum_{k=1}^{N} C_n \epsilon_k^n \leq C_n \epsilon^{n-1} \sum_{k=1}^{N} \epsilon_k \leq C_n \epsilon^{n-1} \| f' \|_1, $$
donde $C_n$ es una constante que depende sólo de la dimensión $n$. (De hecho, podemos optar $C_n = |B_2|$.) Por lo tanto, teniendo $\epsilon \to 0$, se tiene el resultado deseado.
Stephan Aßmus
Puntos
16
La otra dirección es llamado (mini)-Adrs del Teorema. Página 205 en el Apéndice 1 de Guilleman y Pollack, Topología Diferencial. La versión mini es simplemente esta: Vamos a $U$ ser un conjunto abierto de $\mathbb R^n,$ y deje $f:U \rightarrow \mathbb R^m$ ser un suave mapa. Entonces, si $m > n,$ podemos concluir que $f(U)$ tiene medida cero en $\mathbb R^m.$
El pleno del Teorema de Sard es acerca de los puntos críticos, mientras que nosotros no podemos hacer demandas sobre las dimensiones relativas. Deje $f:X \rightarrow Y$ ser suave, un mapa de colectores, y deje $C$ el conjunto de puntos críticos de $f$ $X.$ $f(C)$ tiene medida cero en $Y.$
Dicen que su prueba es casi textual de John W. Milnor, de la Topología de la Diferenciable punto de vista. Parece Guillemin y Pollack, también Milnor, suponga $C^\infty.$ sin Embargo, Milnor, se refiere a Pontryagin(1955), traducción al inglés (1959). Evidentemente Pontryagin trabajado con los más débiles condiciones, pero no se nos dice qué. http://en.wikipedia.org/wiki/Sard%27s_theorem
Bien, he estado mirando cosas en otros lugares. El pleno de la Adrs del teorema depende de la relación de la dimensión. Actualmente yo creo que mini-Adrs hacen ser cierto tanto para $C^1$ y para diferenciable en todas partes, que es un muy débil de la hipótesis.
