¿Qué es $\text{Res}_{\mathbb{F}_p(t)/\mathbb{F}_p(t^p)}(\text{Spec}\,\mathbb{F}_p(t)[x]/(x^p - t))$?

Question

Deje $L = \mathbb{F}_p(t)$$k = \mathbb{F}_p(t^p)$. Deje $X$$L$ -$\text{Spec}\,L[x]/(x^p - t)$. ¿Qué es $\text{Res}_{L/k}\,X$?

Aquí $\text{Res}$ denota la Weil restricción de escalares.

Answer 1

La respuesta es el vacío esquema. Utilizamos la base $\{1, t, \ldots, t^{p - 1}\}$$L/k$. Para encontrar la restricción de escalares, sustituimos$$x = y_0 + ty_1 + \ldots + t^{p - 1}y_{p - 1}$$into the equation $x^p - t = 0$ defining $L$, and rewrite the result as$$F_0 + f_1t + \ldots + F_{p - 1} = 0$$with $F_i \en k[y_0, \ldots, y_{p - 1}]$. Estamos\begin{align*} F_0 & = y_0^p - t^p y_1^p + \ldots + t^{p(p - 1)}y_{p - 1}^p,\\ F_1 & = -1, \\ F_i & = 0 \text{ for }i \ge 2. \end{align*} A continuación,$\text{Res}_{L/k}X$$\text{Spec}\,k[y_0, \ldots, y_{p - 1}]/(F_0, \ldots, F_{p - 1})$. Este es el vacío esquema, puesto que $F_1 = -1$ genera la unidad ideal.