Si $\kappa$ se puede medir, no existe una medida normal en $\mathcal P_{\kappa}(\kappa)$?

Question

Estoy tratando de hacer ejercicio $10.7$ de Jech de la Teoría de conjuntos:

Si $\kappa$ es un cardinal medible, entonces existe una medida normal en $\mathcal P_{\kappa}(\kappa)$.

Para un conjunto $A$,$|A|\geq \kappa$, una medida normal en $\mathcal P_{\kappa}(A)$ $\kappa$- completa ultrafilter $U$ $\mathcal P_{\kappa}(A)$ a que se extiende el filtro generado por los conjuntos de $\hat P=\{Q\in \mathcal P_{\kappa}(A):P\subset Q\}$, y tal que para cualquier $f:\mathcal P_{\kappa}(A)\rightarrow A$ $f(P)\in P$ todos los $P$ en un conjunto de $U$, $f$ es constante en algún elemento de $U$.

Esto es lo que yo he probado hasta ahora:

Como $\kappa$ es inaccesible es fácil mostrar que $|\mathcal P_{\kappa}(\kappa)|=\kappa$, a continuación, fije un bijection $f:\kappa\rightarrow \mathcal P_{\kappa}(\kappa)$. Deje $V$ ser un nonprincipal $\kappa$-completa ultrafilter en $\kappa$, $U=f(V)$ $\kappa$- completa ultrafilter en $\mathcal P_{\kappa}(\kappa)$. El uso de la ultrafilter $U$ podemos obtener una ultrafilter en $\mathcal P_{\kappa}(\kappa)$ que es normal:

Definir $\equiv$ $\mathcal P_{\kappa}(\kappa)^{\mathcal P_{\kappa}(\kappa)}$ $f\equiv g$ fib $\{A\in \mathcal P_{\kappa}(\kappa):f(A)=g(A)\}\in U$, y definir $<$ $\mathcal P_{\kappa}(\kappa)^{\mathcal P_{\kappa}(\kappa)}/\equiv$ $[f]<[g]$ fib $\{A: f(A)\subsetneq g(A)\}\in U$, uno puede mostrar $<$ es un buen orden; como $\in$ está bien fundada en a $\kappa$. Deje $f$ ser el mínimo de la función tal que para cualquier $A\in \mathcal P_{\kappa}(\kappa)$ tenemos $\{B:f(B)\neq A\}\in U$; desde $U$ no es la principal de esas funciones existen por ejemplo $d(B)=B$. A continuación, utilizando el minimality de $f$ uno puede mostrar que $f_{-1}(U)$ es normal ultrafilter en $\mathcal P_{\kappa}(\kappa)$.

El problema es, cómo obtener el normal ultrafilter y hacer que se contienen todos los conjuntos de $\hat P$?, tal vez esto puede ser hecho usando el bien de la orden definido anteriormente. Me gustaría ver otro de los enfoques para el problema.

Gracias

Answer 1

Deje $j: V \rightarrow M$ ser el ultrapower la incrustación de con $\text{crit}(j) = \kappa$. Decir $F \subseteq \mathcal{P}_{\kappa}{(\kappa)}$ tiene una medida de un si $\kappa \in j(F)$. Ahora verificación.

Un modelo de la teoría de la libre argumento: Vamos a $m$ ser una medida normal de más de $\kappa$. Extender $m$ a todos los de $\mathcal{P}_{\kappa}(\kappa)$, al declarar que el conjunto de los no ordinales a ser nulo. Ahora vuelve a comprobarlo.