Demostrar que $2$ , $3$ , $1+ \sqrt{-5}$ y $1-\sqrt{-5}$ son irreducibles en $\mathbb{Z}[\sqrt{-5}]$ .

Question

Así que la Norma para un elemento $\alpha = a + b\sqrt{-5}$ en $\mathbb{Z}[\sqrt{-5}]$ se define como $N(\alpha) = a^2 + 5b^2$ y por eso argumento por contradicción asumir que existe $\alpha$ tal que $N(\alpha) = 2$ y así $a^2+5b^2 = 2$ Sin embargo, ya que $b^2$ y $a^2$ son ambos enteros positivos, entonces $b=0$ y $a=\sqrt{2}$ Sin embargo, $a$ debe ser un número entero y por lo tanto no hay tal $\alpha$ existe, lo mismo ocurre con $3$ .

Ya he demostrado que

1. $N(\alpha\beta) = N(\alpha)N(\beta)$ para todos $\alpha,\beta\in\mathbb{Z}[\sqrt{-5}]$ .
2. si $\alpha\mid\beta$ en $\mathbb{Z}[\sqrt{-5}]$ entonces $N(\alpha)\mid N(\beta)$ en $\mathbb{Z}$ .
3. $\alpha\in\mathbb{Z}[\sqrt{-5}]$ es una unidad si y sólo si $N(\alpha)=1$ .
4. Demuestre que no hay elementos en $\mathbb{Z}[\sqrt{-5}]$ con $N(\alpha)=2$ o $N(\alpha)=3$ . (Lo he demostrado más arriba)

Ahora tengo que demostrar que $2$ , $3$ , $1+ \sqrt{-5}$ y $1-\sqrt{-5}$ son irreducibles.

Así que también argumento por contradicción, asumir $1 + \sqrt{-5}$ es reducible entonces deben existir elementos no unitarios $\alpha,\beta \in \mathbb{Z}[\sqrt{-5}]$ tal que $\alpha\beta = 1 + \sqrt{-5} $ y así $N(\alpha\beta) =N(\alpha)N(\beta)= N(1 + \sqrt{-5}) = 6$ pero ya sabemos que $N(\alpha) \neq 2$ o $3$ y así $N(\alpha) = 6$ y $N(\beta) = 1$ o viceversa , en cualquier caso esto contradice el hecho de que ambos $\alpha$ y $\beta$ son ambos no unidades. Sólo quiero asegurarme de que estoy en el camino correcto aquí. Y cómo puedo probar que $2$ , $3$ , $1+ \sqrt{-5}$ y $1-\sqrt{-5}$ no se asocian entre sí.

Answer 1

He visto estos mismos argumentos en bastantes libros, todo me parece bastante estándar.

Pero lo que parece que te falta es la motivación por todo esto, el por qué nos importa. Esa motivación es este famoso hecho: $$6 = 2 \times 3 = (1 - \sqrt{-5})(1 + \sqrt{-5}).$$ También es cierto que $$6 = -2 \times -3 = (-1 - \sqrt{-5})(-1 + \sqrt{-5}).$$ Tenemos cuatro factorizaciones aquí, pero ¿cuántas de ellas son factorizaciones distintas en irreducibles?

Bueno, $6$ tiene una norma de $36$ . Según los argumentos conocidos que ya has citado, $2, 3, 1 - \sqrt{-5}, 1 + \sqrt{-5}$ son irreducibles con normas de $4, 9, 6, 6$ respectivamente, y $36 = 4 \times 9 = 6 \times 6$ .

Supongo que también necesitas una buena definición de asociados: en un anillo conmutativo, $x$ y $y$ son asociados si y sólo si hay una unidad $u$ tal que $x = uy$ (ver https://www.proofwiki.org/wiki/Definition:Associate/Commutative_Ring ). En un anillo cuadrático imgainario como $\mathbb{Z}[\sqrt{-5}]$ , si $u$ es una unidad y $x$ y $y$ son asociados, entonces $N(u) = 1$ y $N(x) = N(y)$ .

Claramente $2$ no es un asociado de $3$ ni de $1 - \sqrt{-5}$ ni de $1 + \sqrt{-5}$ . Es posible que $1 - \sqrt{-5}$ y $1 + \sqrt{-5}$ son asociados entre sí. Pero no saques la conclusión de que $N(x) = N(y)$ significa automáticamente $x$ y $y$ son asociados, la definición requiere explícitamente una unidad $u$ tal que $x = uy$ . Sólo hay dos unidades en $\mathbb{Z}[\sqrt{-5}]$ y esos son $-1$ y $1$ . Resulta que, $(-1)(1 - \sqrt{-5}) = -1 + \sqrt{-5}$ no $1 + \sqrt{-5}$ Por lo tanto, esta ausencia de una unidad adecuada significa que $1 - \sqrt{-5}$ y $1 + \sqrt{-5}$ son no asociados entre sí.

Aunque hemos mostrado cuatro factorizaciones de $6$ en $\mathbb{Z}[\sqrt{-5}]$ Sólo dos de ellos son distintos porque los otros dos consisten en asociados de números en los dos primeros.

Answer 2

Sí, estás en el camino correcto. Todo tu razonamiento tiene sentido para mí.

En cuanto a su pregunta sobre los asociados

Por las propiedades de la norma, los asociados tienen la misma norma. Así que los únicos asociados posibles en su lista son $1 + \sqrt{-5}$ y $1 - \sqrt{-5}$ .

Ahora determine todas las unidades de $\mathbb{Z}[\sqrt{-5}]$ encontrando todas las soluciones enteras de $N(a + b\sqrt{-5}) = 1$ . (La lista será bastante corta).

Entonces comprueba cada unidad $u$ para $u (1 + \sqrt{-5}) = (1 - \sqrt{-5})$ . Verás que esto nunca ocurre y por tanto, los dos elementos no están asociados.

Answer 3

Sólo hay dos unidades en $\mathbb{Z}[\sqrt{-5}]$ : 1 y $-1$ . Para obtener el asociado de un número, se multiplica ese número por una unidad distinta de 1, y en este ámbito sólo hay una opción: $-1$ . Así, por ejemplo, el asociado de 2 es $-2$ el asociado de 3 es $-3$ El asociado de $1 - \sqrt{-5}$ es $-1 + \sqrt{-5}$ y el asociado de $1 + \sqrt{-5}$ es $-1 - \sqrt{-5}$ .

Ya has demostrado 2, 3, $1 - \sqrt{-5}$ y $1 + \sqrt{-5}$ son irreducibles. Los argumentos por norma fueron suficientes. Sin embargo, en algunos otros dominios, como $\mathbb{Z}[\sqrt{10}]$ es muy importante vigilar a los asociados.

Me gustaría terminar con algunos ejemplos de números "compuestos" en $\mathbb{Z}[\sqrt{-5}]$ :

• $2 \sqrt{-5}$
• $5 + 5 \sqrt{-5}$
• 21
• 29