La intuición detrás de la prueba de la limitada teorema de convergencia en Stein-Shakarchi

Question

Teorema 1.4 (Bounded teorema de convergencia) Supongamos que $\{f_n\}$ es una secuencia de funciones medibles que están delimitadas por $M$, se apoyan en un conjunto $E$ finito de medida, y $f_n(x) \to f(x)$.e. $x$ $n \to \infty$ . A continuación, $f$ es medible, delimitada, apoyado en $E$.e. $x$, y$$\int |f_n \to f| \to 0 \text{ as } n \to \infty.$$Consequently,$$\int f_n \to \int f \text{ as } n \to \infty.$$

Prueba. A partir de los supuestos en que uno ve a la vez que $f$ está delimitado por $M$ en casi todas partes y se desvanece fuera de $E$, excepto, posiblemente, en un conjunto de medida cero. Claramente, el triángulo de la desigualdad de la integral implica que no es suficiente para demostrar que $\int |f_n - f| \to 0$ $n$ tiende a infinito.

La prueba es una repetición de los argumentos en Lema 1.2. Dado $\epsilon > 0$, podemos encontrar, por Egorova del teorema, un subconjunto medible $A_\epsilon$ $E$ tal que $m(E - A_\epsilon) \le \epsilon$ $f_n \to f$ uniformemente en $A_\epsilon$. Entonces, sabemos que para todos lo suficientemente grande $n$ tenemos $|f_n(x) - f(x)| \le \epsilon$ todos los $x \in A_\epsilon$. Poner estos hechos rendimientos\begin{align*} \int |f_n - f(x)|\,dx & \le \int_{A_\epsilon} |f_n(x) - f(x)|\,dx + \int_{E - A_\epsilon} |f_n(x) - f(x)|\,dx \\ & \le \epsilon m(E) + 2M\,m(E - A_\epsilon)\end{align*}para todos los gran $n$. Desde $\epsilon$ es arbitrario, la prueba del teorema es completa.$$\tag*{$\plaza de$}$$

Para referencia, se incluye la declaración de Lema 1.2 aquí.

Lema 1.2 Deje $f$ ser una limitada función de apoyo en un conjunto $E$ finito de medida. Si $\{\varphi_n\}_{n = 1}^\infty$ es cualquier secuencia de funciones simples delimitada por $M$, apoyado en $E$, y con $\varphi_n(x) \to f(x)$.e. $x$, entonces:

(i) El límite de $\lim_{n \to \infty} \int \varphi_n$ existe.

(ii) Si $f = 0$.e., a continuación, el límite $\lim_{n \to \infty} \int \varphi_n$ es igual a $0$.

Mi pregunta es, podría alguien facilitarme sus intuiciones detrás de la prueba de la limitada teorema de convergencia aquí? ¿Cuáles son los principales pasos que debe destilar la prueba en cuanto a ser capaz de volver a crear desde cero?

Answer 1

Para recordar la prueba, tal vez lo mejor es mantener un ejemplo particular en mente.

Deje $E = [0,1]$, el cierre de la unidad de intervalo en la línea. Deje $f_n(x) = x^n$, que está delimitada por $M=1$. A continuación, $f_n \rightarrow 0$ en casi todas partes en $E$, pero no de manera uniforme.

Pero podemos excluir los bits donde la convergencia uniforme falla (esto es Egorova del teorema). En este caso particular, podemos tomar $A_\epsilon = [0, 1-\epsilon]$. A continuación, $f_n \rightarrow 0$ uniformemente en $A_\epsilon$, es decir, lo suficientemente grande como $n$ tenemos que $|f_n(x) - 0| < \epsilon$$A_\epsilon$.

Ahora se suman las dos piezas y deje $\epsilon$ ser arbitrariamente pequeño.