Al igual que con muchos aspectos de álgebra lineal, este aspecto es muy aclarado, trabajando en una coordenada independiente de la moda. Qué $n \times m$ matriz es una representación particular de una transformación lineal $T$ a partir de un espacio vectorial de dimensión $m$ a un espacio vectorial de dimensión $n$. Para escribir este tipo de representación que usted necesita una base de la fuente y el destino de espacios vectoriales.
Si $V$ es una sola $n$-dimensional espacio vectorial, entonces
- $n \times n$ matrices generalmente denotan transformaciones lineales $T : V \to V$ con respecto a una base $e_1, ... e_n$. Tenga en cuenta que estamos usando la misma base de origen y de destino.
- $n \times 1$ matrices generalmente denotan elementos de $V$. Tenga en cuenta que esta es la misma cosa que una transformación lineal $k \to V$ donde $k$ es el campo base (asumo $k = \mathbb{R}$ aquí).
- $1 \times n$ matrices generalmente denotan transformaciones lineales $V \to k$, de lo contrario se conoce como elementos del espacio dual $V^{\ast}$.
Cuando elegimos una base $e_1, ... e_n$$V$, se deduce que cada elemento de a $v \in V$ puede ser únicamente se expresa en la forma
$$v = \sum v_i e_i.$$
Ahora (y esto es algo confuso, pero es una lección que bien vale la pena aprender) los coeficientes $v_i$ realmente definir transformaciones lineales $V \to k$; en otras palabras, definen distinguidos elementos de $V^{\ast}$ llama la base dual $e_i^{\ast}$ asociado a $e_i$. De nuevo, esto es confuso, así que me voy a repetir: $e_i^{\ast}$ es la transformación lineal $V \to k$ que envía un vector $v$ para el componente de $v_i$ $e_i$ en la representación única de $v$ en base a la $e_i$.
El problema de trabajar con matrices en lugar de transformaciones lineales es que nadie le dice alguna vez acerca de la base dual, y las personas en general el tratamiento de la base y la base dual como si fueran la misma cosa, que no están; se transforman de manera diferente en virtud del cambio de coordenadas. Cuando usted toma la transpuesta de una matriz, lo que está haciendo en realidad es la conmutación de la base de los elementos con base dual elementos. Esta operación es coordinar dependiente, y nadie les dice esto. (Otra razón por la cual se puede recorrer un largo tiempo sin que el aprendizaje de esta lección es que no importa si $V$ tiene un producto interior en él con respecto a la cual se $e_i$ es una base ortonormales, desde entonces esta operación es coordinar independiente con respecto a ortogonal cambio de coordenadas.)
Usted puede multiplicarse $n \times 1$ matriz con un $1 \times n$ matriz a obtener un $1 \times 1$ matriz; este es un base-dependiente de la forma de hablar de la doble emparejamiento $V^{\ast} \times V \to k$ dado por la evaluación de una transformación lineal $V \to k$ a un determinado elemento de $V$. Tenga en cuenta que el doble de emparejamiento es coordinar independiente, y se determina por lo que hace a base de $V^{\ast}$, y una base de $V$. Previsiblemente se envía a $(e_i^{\ast}, e_j)$ $1$si $i = j$ $0$ lo contrario.
También se puede multiplicar una $n \times 1$ matriz con un $1 \times n$ de la matriz en la otra dirección para conseguir un $n \times n$ matriz; este es un base-dependiente de la forma de hablar sobre el isomorfismo entre el $\text{End}(V)$ (el espacio de endomorphisms de $V$ o transformaciones lineales $V \to V$) y el producto tensor $V^{\ast} \otimes V$. Explícitamente, el isomorfismo es la siguiente: si $T$ es una transformación lineal con matriz $a_{ij}$, por lo que
$$T(e_i) = \sum e_j a_{ji}$$
luego se envía al elemento $\sum a_{ji} e_i^{\ast} \otimes e_j \in V^{\ast} \otimes V$. La doble vinculación a continuación se da una vinculación $V \times (V^{\ast} \otimes V) \to V$, que es precisamente la evaluación de una transformación lineal en un elemento de $V$. De nuevo, este es, probablemente, muy confuso, pero, de nuevo, es una lección que bien vale la pena aprender; es la forma abstracta a hablar de que representa una transformación lineal mediante una matriz.
Lo que la palabra "vector" significa también vale la pena aclarar. Un vector es sólo un elemento de un espacio vectorial. Aquí lo que significa un elemento de $V$, pero a veces realmente va a significar un elemento de $V^{\ast}$. Este es un mal hábito por parte de las personas que trabajan con coordenadas; que en realidad debería llamar a estos vectores duales, ya que los vectores y vectores duales (columna y fila vectores) transformar de manera diferente en virtud del cambio de coordenadas.
