Empecé por romper el problema de la siguiente manera: \begin{align} \mathcal{L}\left\{\cos^3\left(t\right)\right\}=\int_0^\infty e^{-st}\cos^3\left(t\right)\:dt & = \int_0^\infty e^{-st}\cos\left(t\right)\:dt+\int_0^\infty e^{-st}\cos\left(t\right)\sin^2\left(t\right)\:dt, \end{align} que luego se simplifica a \begin{align} \frac{s}{s^2+1}+\int_0^\infty e^{-st}\cos\left(t\right)\sin^2\left(t\right)\:dt, \end{align} porque he memorizado la tabla (con suerte) y sé que el $\mathcal{L}\left\{\cos\left(t\right)\right\}$ eventualmente se simplifica a que para $s>0$. Pero ahora la segunda mitad. Después de muy tediosos cálculos que he llegado a $\mathcal{L}\left\{\cos\left(t\right)\sin^2\left(t\right)\right\}=0$? ¿Que sentido?
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Travis
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Una opción es el uso de la compleja identidad $$\cos t = \frac{1}{2}(e^{it} + e^{-it}),$$ lo que da \begin{align}\cos^3 t &= \frac{1}{8}(e^{3it} + 3 e^{it} + e^{-it} + e^{-3it}) \\ &= \frac{1}{4}\left[\frac{1}{2}(e^{3it} + e^{-3it}) + 3 \cdot \frac{1}{2}(e^{it} + e^{-it}) \right] \\ &= \frac{1}{4}(\cos 3t + 3 \cos 3t), \end{align} que reduce el cálculo de la norma integral $$\int e^u \cos au \,du .$$ (De hecho, esta integral también puede ser fácilmente manejado con la anterior fórmula compleja para $\cos t$.)
