Deje que $p$ principal $i'$ es el menor entero positivo tal que $i\times i'\equiv 1\pmod p$, denotar $$S(p)=\sum_{i=1}^{p-1}i\times i',$$ probar o refutar que $$\lim_{p\to \infty} \frac{S(p)}{p^3}=\frac{1}4.$$
- ¿Por qué creo que esto es cierto?
Si $(j)=\{j_1,j_2,\cdots j_{p-1}\}$ es un reordenamiento $(i)$ donde $(i)=\{1,2,\cdots p-1\},$ denotar $$J=\sum_{i=1}^{p-1}i\times j_i,$$ tenemos $$\sum_{i=1}^{p-1}i(p-i)\le J \le \sum_{i=1}^{p-1}i^2$$ por lo tanto $$\frac{1}2p^2(p-1)-\frac{1}6p(p-1)(2p-1)=\frac{1}6p(p-1)^2\le J \le \frac{1}6p(p-1)(2p-1).$$
El límite superior $\approx \dfrac{1}3p^3$ y el límite inferior $\approx\dfrac{1}6p^3$.
Podemos demostrar que $E(J)=\frac{1}4p^2(p-1)$.
Si $(j)$ ejecutar sobre cada permutación de $\{1,2,\cdots p-1\},$ entonces $$E(J)=\frac{1}{(p-1)!}\sum_{(j)}\sum_{i=1}^{p-1}i\times j_i\\ =\frac{1}{(p-1)!}\sum_{i=1}^{p-1}\times\sum_{(j)} j_i\\ =\frac{1}{(p-1)!}\sum_{i=1}^{p-1}i\sum_{k=1}^{p-1}k\times \frac{(p-1)!}{p-1}\\ =\frac{1}4p^2(p-1).$$
Del mismo modo, podemos comprobar que la Var$(J)=\dfrac{1}2p^2(p-1),$ y $\sigma(J)=\sqrt{\dfrac{1}2p^2(p-1)},$ por lo tanto $$\lim_{p\to \infty}\frac{\sigma(J)}{E(J)}=0.$$
Desde $(i')$ es un reordenamiento $(i)$ (y con ningún patrón especial se refieren a la parte principal de que $\sum$), esto me lleva a creer que $S(p)\sim E(J)\sim \dfrac{1}4p^3.$
