Infinitamente muchos, incluso los números de $n$, existe tal que $n+1$ $n/2+1$ son plazas

Question

Cómo probar que un número infinito de números $n$, están allí, que $n+1$ $n/2+1$ son ambos cuadrados?

Answer 1

Tenga en cuenta que si $x^2=n/2+1$$y^2=n+1$, luego tenemos a la ecuación de Pell $$2x^2-y^2=1$$ que tiene un número infinito de soluciones.

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Cómo generar $n$: mediante la resolución de la ecuación de Pell

Vamos $y_0=1$, $y_1=7$,y $y_k=6y_{k-1}-y_{k-2}$, entonces tenemos la infinita secuencia $n_k=y_k^2-1$. El primer par de $n_k$ $$0,48,1680,57120,1940448,\dots$$ La relación de un $n_k$ a la última tiende a $17+12\sqrt2\doteq33.97$

Answer 2

Un equivalente a la formulación del problema es: Mostrar que hay infinitamente muchos enteros pares de $(p,q)$ tal que $p^2 = 2q^2 - 1$ (donde he escrito $p^2$$n+1$$q^2$$n/2+1$).

Usted puede generar este tipo de parejas utilizando la conocida secuencia de aproximaciones racionales a $\sqrt2$:

$$\frac{1}{1},\frac{3}{2},\frac{7}{5},\frac{17}{12},\frac{41}{29},\frac{99}{70},\ldots$$

Aquí, cada término se deriva de la anterior, por el término de recurrencia $$\frac{p}{q} \mapsto \frac{p+2q}{p+q}$$

Si usted cuadrado cada una de estas aproximaciones, se dará cuenta de que los números impares términos satisfacer $p^2 = 2q^2 - 1$, y los pares de términos satisfacer $p^2 = 2q^2 + 1$. Y, de hecho, con un poco de álgebra se puede comprobar que:

• si $p^2 = 2q^2 - 1$,$(p+2q)^2 = 2(p+q)^2 + 1$; y
• si $p^2 = 2q^2 + 1$,$(p+2q)^2 = 2(p+q)^2 - 1$.

De modo que los impares términos proporcionar usted con la secuencia que se está buscando.