El Freyd-Mitchell Incrustación de Teorema y proyectiva (inyectiva) objetos

Question

Dado un pequeño abelian categoría $\mathcal{A}$, el Freyd-Mitchell Incrustación Teorema me da totalmente fieles functor exacto $F:\mathcal{A}\rightarrow R$-$\mathsf{Mod}$, para algunos unital anillo de $R$, por lo que, en particular, $\mathcal{A}$ es equivalente a un total subcategoría de $R$-$\mathsf{Mod}$.

Wikipedia dice

Sin embargo, proyectiva y inyectiva objetos en $\mathcal{A}$ no corresponden necesariamente a proyectivas y inyectiva $R$-módulos.

Dado que la definición de proyectiva de los objetos es totalmente categórico en la naturaleza, ¿cómo puede ser que las nociones de proyectiva en cada categoría no se corresponden el uno al otro en categorías equivalentes? Es esto debido a que el proyectiva objetos en una subcategoría plena de $R\mathsf{Mod}$ a veces son diferentes de los proyectivos objetos en todos $R$-$\mathsf{Mod}$?

(Por supuesto, usted puede reemplazar todas partes "proyectiva" con "inyectiva" en la anterior.)

Answer 1

A partir de las definiciones, no hay ninguna razón para esperar que proyectiva/inyectiva objetos de una subcategoría para ser proyectiva/inyectiva en el ambiente de la categoría. Si $P, B \in \mathcal{A}$, entonces cualquier mapa de $P \to B$ factores a través de cualquier epi $A \twoheadrightarrow B$$A \in \mathcal{A}$, pero si $A, B$ no $\mathcal{A}$, no hay ninguna razón para esperar un ascensor.

Para un ejemplo concreto donde subcategoría tiene (esencialmente) no injectives, mientras que el ambiente categoría tiene suficiente injectives, ver esta respuesta.

Answer 2

Un objeto $P$ es proyectiva cuando, dada cualquier morfismos $f: P \to A$, y cualquier epimorphism $g: B \to A$, no hay una única morfismos $h: P \to B$ tal que $g \circ h = f$.

Incluso si un objeto $P$ es proyectiva en una subcategoría plena de R-mod, entonces, no podría ser proyectiva en R-mod en sí, porque en ese caso los objetos $A$ $B$ podría estar fuera de la subcategoría más que $P$ es proyectiva.