Demostrando $f$ es una función constante

Question

Deje $f$ $2\pi$ periódico de toda la función de la satisfacción de $|f(z)|\leq 1+|{\rm Im}\; z|$.

Estoy tratando de mostrar a $f$ es constante.

Al principio pensé que es muy fácil que se me puede aplicar Louiville del Teorema. Pero me di cuenta de que prueben $f$ está delimitado, no es sencillo. Esto tiene que ver algo con ese período de la función. No veo lo que puedo hacer con eso.

Answer 1

Por el acotamiento de su crecimiento al infinito (en la mayoría de los lineales) y la desigualdad de Cauchy, usted sabe que es un polinomio, por la periodicidad que usted sabe que es constante

Bien, en primer lugar el delimitada crecimiento al infinito implica polinomio: supongamos $|f(z)| \leqslant C|z|^n$ $|z|$ suficientemente grande, entonces yo reclamo que $f^{n+1}(z) \equiv 0$. De hecho, para ver esto, para cualquier $w \in \mathbb{C}$ hemos $$f^{n+1}(w) = c\int_\gamma \frac{f(z)}{(z - w)^{n+2}} dz$$ where we can take $\gamma$ to be a circle of radius $R$ about $w$. Now, the integral is bounded by $$2\pi R c \max_{|z-w| = R} \frac{|f(z)|}{|z^{n+2}|} = c \frac{\max_{|z - w| = R} |f|}{R^{n+1}}$$ where I lumped together the constants. Now applying our bound on $f$ and taking $R$ a infinito da el resultado.

(en nuestro caso tuvimos $|f(x+iy)| \leqslant 1 + y \leqslant x^2 + y^2 = |z|^2$ lo suficientemente grande como $|z|$, por lo que supongo que conocemos $f$ es cuadrática)

Para el segundo bit, un periódico polinomio es constante: si esto no es una constante, tiene una raíz $w$, tan infinitamente muchas raíces $w + 2\pi \mathbb{Z}$.