Es necesario establecer las dos propiedades siguientes:
1) $ \displaystyle \lim_ {x \to 0} \frac {e^{x} - 1}{x} = 1$
2) $ \displaystyle e^{x + y} = e^{x} \cdot e^{y}$
y resulta que ambos se pueden derivar (aunque con alguna dificultad menor) utilizando la definición $$e^{x} = \lim_ {n \to \infty } \left (1 + \frac {x}{n} \right )^{n}$$
Empezamos con 1) primero y eso también con la limitación $x \to 0+$ . Tenemos
$ \displaystyle \begin {aligned} \lim_ {x \to 0+} \frac {e^{x} - 1}{x} &= \lim_ {x \to 0+} \dfrac {{ \displaystyle \lim_ {n \to \infty } \left (1 + \dfrac {x}{n} \right )^{n} - 1}}{x} \\ &= \lim_ {x \to 0+} \lim_ {n \to \infty } \frac {1}{x} \left\ { \left (1 + \dfrac {x}{n} \right )^{n} - 1 \right\ } \\ &= \lim_ {x \to 0+} \lim_ {n \to \infty } \frac {1}{x} \left\ { \left (1 + x + \dfrac {(1 - 1/n)}{2!}x^{2} + \dfrac {(1 - 1/n)(1 - 2/n)}{3!}x^{3} + \cdots\right ) - 1 \right\ } \\ &= \lim_ {x \to 0+} \lim_ {n \to \infty } \left (1 + \dfrac {(1 - 1/n)}{2!}x + \dfrac {(1 - 1/n)(1 - 2/n)}{3!}x^{2} + \cdots\right ) \\ &= \lim_ {x \to 0+} \lim_ {n \to \infty }(1 + \phi (x, n)) \end {aligned}$
donde $ \phi (x, n)$ es una suma finita definida por $$ \phi (x, n) = \frac {(1 - 1/n)}{2!}x + \cdots + \frac {(1 - 1/n)(1 - 2/n) \cdots (1 - (n - 1)/n)}{n!}x^{n - 1}$$ Para el positivo fijo $x$ la función $ \phi (x, n)$ es una secuencia creciente delimitada por la serie convergente $$F(x) = \frac {x}{2!} + \frac {x^{2}}{3!} + \cdots $$ De ahí el límite $ \lim_ {n \to \infty } \phi (x, n)$ existe y digamos que es igual a $ \phi (x)$ . Luego $0 \leq \phi (x) \leq F(x)$ . Ahora deja $x < 2$ y entonces podemos ver que $$F(x) \leq \frac {x}{2} + \frac {x^{2}}{2^{2}} + \frac {x^{3}}{2^{3}} + \cdots = \frac {x}{2 - x}$$ Por lo tanto $ \lim_ {x \to 0+}F(x) = 0$ y por lo tanto $ \lim_ {x \to 0+} \phi (x) = 0$ .
Ahora tenemos
$ \displaystyle \begin {aligned} \lim_ {x \to 0+} \frac {e^{x} - 1}{x} &= \lim_ {x \to 0+} \lim_ {n \to \infty }1 + \phi (x, n) \\ &= \lim_ {x \to 0+}1 + \phi (x) \\ &= 1 + 0 = 1 \end {aligned}$
De esto se deduce que $ \lim_ {x \to 0+}e^{x} = 1$ . Para manejar el caso de $x \to 0-$ necesitamos usar otro truco. Mostramos eso para $x > 0$ tenemos $$ \lim_ {n \to \infty } \left (1 - \frac {x}{n} \right )^{-n} = e^{x}$$ Claramente tenemos
$ \displaystyle \begin {aligned} \left (1 - \frac {x}{n} \right )^{-n} - \left (1 + \frac {x}{n} \right )^{n} &= \left (1 + \frac {x}{n} \right )^{n} \left\ { \left (1 - \frac {x^{2}}{n^{2}} \right )^{-n} - 1 \right\ } \\ &< e^{x} \left\ { \left (1 - \frac {x^{2}}{n} \right )^{-1} - 1 \right\ } = \frac {x^{2}e^{x}}{n - x^{2}} \end {aligned}$
y esta última expresión tiende a $0$ como $n \to \infty $ y por lo tanto $$ \lim_ {n \to \infty } \left (1 - \frac {x}{n} \right )^{-n} = \lim_ {n \to \infty } \left (1 + \frac {x}{n} \right )^{n} = e^{x}$$ Tomando los recíprocos vemos que $$ \lim_ {n \to \infty } \left (1 - \frac {x}{n} \right )^{n} = \frac {1}{e^{x}}$$ o en otras palabras $e^{-x} = 1/e^{x}$ para $x > 0$ y por la dualidad se mantiene para $x < 0$ también. Así podemos ver que si $x \to 0-$ entonces podemos escribir $x = -y$ para que $y \to 0+$ y luego
$ \displaystyle \begin {aligned} \lim_ {x \to 0-} \frac {e^{x} - 1}{x} &= \lim_ {y \to 0+} \frac {e^{-y} - 1}{-y} \\ &= \lim_ {y \to 0+} \frac {e^{y} - 1}{y} \frac {1}{e^{y}} = 1 \cdot 1 = 1 \end {aligned}$
Por lo tanto, hemos establecido dos propiedades de $e^{x}$ a saber $$ \lim_ {x \to 0} \frac {e^{x} - 1}{x} = 1,\,\, e^{-x} = \frac {1}{e^{x}}$$ La segunda propiedad nos permite considerar sólo los argumentos positivos de la función exponencial. Así, para establecer la propiedad fundamental $e^{x + y} = e^{x} \cdot e^{y}$ tenemos que considerar $x, y > 0$ (para $x = y = 0$ es obviamente cierto). Podemos ver que
$ \displaystyle \begin {aligned} f(x, y, n) &= \left (1 + \frac {x}{n} \right )^{n} \left (1 + \frac {y}{n} \right )^{n} - \left (1 + \frac {x + y}{n} \right )^{n} \\ &= \left (1 + \frac {x + y}{n} + \frac {xy}{n^{2}} \right )^{n} - \left (1 + \frac {x + y}{n} \right )^{n} \\ &= \left (1 + \frac {x + y}{n} \right )^{n} \left\ { \left (1 + \frac {xy}{n(n + x + y)} \right )^{n} - 1 \right\ } \\ &< e^{x + y} \left\ { \left (1 + \frac {xy}{n^{2}} \right )^{n} - 1 \right\ } \\ &= e^{x + y} \left\ { \frac {xy}{n} + \frac {(1 - 1/n)}{2!} \left ( \frac {xy}{n} \right )^{2} + \cdots\right\ } \\ &< e^{x + y} \left\ { \frac {xy}{n} + \left ( \frac {xy}{n} \right )^{2} + \cdots\right\ } \\ &= e^{x + y} \frac {xy}{n - xy} \end {aligned}$
Esto muestra que para los fijos $x, y > 0$ la función $f(x, y, n) \to 0$ como $n \to \infty $ . Y por lo tanto hemos establecido $e^{x}e^{y} - e^{x + y} = 0$ . Ahora podemos mostrar fácilmente que
$ \displaystyle \begin {aligned} \frac {d}{dx}e^{x} &= \lim_ {h \to 0} \frac {e^{x + h} - e^{x}}{h} \\ &= \lim_ {h \to 0}e^{x} \cdot\frac {e^{h} - 1}{h} = e^{x} \cdot 1 = e^{x} \end {aligned}$
