Probar que si $a^x=b^y=(ab)^{xy}$, $x+y=1$ mediante el uso de logaritmos

Question

Probar que si $a^x=b^y=(ab)^{xy}$,$x+y=1$.

¿Cómo puedo usar los logaritmos para abordar este problema?

Answer 1

No logaritmos son necesarios:

$$a^x=(ab)^{xy}=a^{xy}b^{xy}=\left(a^x\right)^y\left(b^y\right)^x=\left(a^x\right)^y\left(a^x\right)^x=\left(a^x\right)^{x+y}$$

Answer 2

El uso de los logaritmos:

Desde $a^x = b^y$, $$ \log a^x = \log b^y \quad \Rightarrow \quad x \log a = y \log b \quad \Rightarrow \quad \log a = \frac{y}{x} \log b $$ Entonces, desde el $b^y = (ab)^{xy}$, $$ \log b^y = \log (ab)^{xy} \quad \Rightarrow \quad y \log b = xy \log (ab) = xy \left( \log a + \log b\right) $$ Supongamos $y \neq 0$ (ya que si $y=0$, entonces también debemos tener $x=0$ y obtener las condiciones necesarias sin tener $x+y=1$, lo que significa que la pregunta original debe haber tenido alguna restricción como $x, y \neq 0$). Cancelar $y$ a ambos lados de la última ecuación: $$ \log b = x\left(\log a + \log b\right) = x\left( \frac{y}{x} \log b + \log b \right) = y \log b + x \log b = (y + x)\log b $$ Entonces, mientras $b \neq 1$ (que está garantizado si $x \neq 0$), sabemos que $\log b \neq 0$, de ahí que podamos cancelar en la ecuación: $$ \log b = (x+y)\log b \quad \Rightarrow \quad 1 = x + y. $$

Answer 3

Cómo acerca de $x=y=0$ ? Me estoy perdiendo algo?

Answer 4

Cómo acerca de este?$$\begin{align} &(ab)^{xy} \\ =& a^{xy}\cdot b^{xy} \\ = & (a^x)^y \cdot (b^y)^x \\ = & (a^x)^y \cdot (a^x)^x \\ = & (a^x)^{x + y} \end{align}$$It suffices to say that $x + y = 1.$