¿Por qué es $0^\sharp$ no definible en $ZFC$?

Question

Tengo una pequeña pregunta acerca de $0^\sharp$. Estoy seguro de que tiene un agradable y de fácil respuesta, pero estoy viendo y creo que va a ayudar a mi comprensión de la $L$ bastante si me pueden pieza de la respuesta juntos.

Dado Gödel edificable universo $L$, podemos definir a la $0^\sharp$ como sigue:

$0^\sharp =_{df} \{ \ulcorner \phi \urcorner | L_{\aleph_\omega} \models \phi [\aleph_1,...,\aleph_n ]\}$

(N. B.: Hay un montón de formas equivalentes de la definición de $0^\sharp$, por ejemplo, a través de una primaria de la incrustación o a través de Ehrenfeucht-Mostowski conjuntos. Veremos más adelante por qué esta caracterización es muy interesante)

Ahora la existencia de $0^\sharp$ tiene algunas muy interesante, gran cardenal consecuencias: por ejemplo, implica $V \not = L$ en forma dramática (por ejemplo, Cubriendo falla por $L$ si $0^\sharp$ existe).

Sería malo, entonces, si $0^\sharp$ eran definibles en $ZFC$ (por Gödel Segundo). Sin embargo, la definición anterior de $0^\sharp$ se ve como debe ser definible en $ZFC$. Cada una de las $\aleph_1,...,\aleph_n$ $V$definible en $ZFC$: Gödel de codificación ha sido resuelto, $L_{\aleph_\omega}$ es definible en $V$, y la Satisfacción es definible más de conjunto de modelos de tamaño. Entonces, ¿qué nos impide el uso de Separación para la obtención $0^\sharp$$\omega$?

Nota: yo no estoy buscando la respuesta fácil: $0^\sharp$ existe $\Rightarrow Con(ZFC)$, y por lo $0^\sharp$ no puede ser definible en $ZFC$ (suponiendo que es constante).

Yo soy consciente de que un montón de las nociones en la definición son no-absoluta o no definible en $L$ (por ejemplo, cada definibles por el cardenal es contable en $L$ si no los indiscernibles). Esto sólo sugiere que la identidad de $0^\sharp$ no es absoluta, no es que (cualquiera que sea) no puede ser probado a existir en $ZFC$ (exactamente igual que muchos de los $\aleph_\alpha$).

Lo que realmente quiero saber es donde el argumento anterior se rompe. ¿Qué parte de la definición de $0^\sharp$ impide ser definible en $ZFC$?

Answer 1

La definición clásica de $0^\sharp$ es como (el conjunto de los números de Gödel de una teoría, es decir, el único de Ehrenfeucht-Mostowski plan satisfacer ciertas propiedades (codificación indiscernibility). Esta es una perfectamente buena definición formalizable en $\mathsf{ZFC}$, pero $\mathsf{ZFC}$ o incluso leve extensiones de $\mathsf{ZFC}$ no son suficientes para demostrar que no son objetos que satisfacen. En $L$ no hay EM modelo con las propiedades requeridas.

Lo que ocurre es que si existe,$0^\sharp$, de hecho, admite que la simple descripción que aparece en la línea 4 de la pregunta, pero (a diferencia de $0^\sharp$) de la establecida en la línea 4, siempre existe (es decir, $\mathsf{ZFC}$ demuestra su existencia, prácticamente a lo largo de las líneas del boceto se sugieren), por lo que no es apropiado definir a $0^\sharp$ de que manera (por ejemplo, que el conjunto es no forzar invariante en general).

Como usted ha mencionado, existen varias definiciones equivalentes de $0^\sharp$. Algunos de ellos son fácilmente formalizable en $\mathsf{ZFC}$, algunos no lo son. Por ejemplo, no podemos hablar de una clase adecuada de $L$-indiscernibles en $\mathsf{ZFC}$ solo, sino $0^\sharp$ podría ser definido como una clase.

La moderna definición de $0^\sharp$ presenta no como una teoría sino como una cierta ratón, un modelo de la forma $(L_\alpha,U)$ para ciertos $\alpha$ donde $U$ es un (externo) $L$-$\kappa$-ultrafilter para algunos $\kappa$ definible en términos de $\alpha$, con el requisito de que la recorre de $L_\alpha$ $U$ están todos bien fundada (y algunos requisitos técnicos adicionales relacionados con la minimality de este modelo). Esto está más en sintonía con el enfoque actual de interior modelo de la teoría. De nuevo, esta definición es formalizable en $\mathsf{ZFC}$ de una manera directa, pero la existencia de un ratón no puede ser establecida en $\mathsf{ZFC}$ solo.

Answer 2

La frase "$0^\sharp$ existe" no se refiere sólo a la existencia de ese conjunto, sino también a la afirmación de que esta colección de fórmulas tiene la propiedad de ser el tipo de orden-indiscernibles en $L$. Así que uno debe tomar la frase "$0^\sharp$ existe" como afirmar no sólo que el conjunto existe, pero también que tiene ciertas propiedades que lo convierten $0^\sharp$ lo que es.

Por supuesto, siempre se puede definir en ZFC el tipo de los cardenales $\aleph_n$$L$, tal como usted lo escribió. Y no hay ningún problema con la definición de ese conjunto. Pero en algunos modelos de ZFC, que no te dará ningún poder, la razón que usted desea atención acerca de la $0^\sharp$.

Por esta razón, me parece la "$0^\sharp$ existe" la terminología a ser un poco lamentable. Lo que la frase está destinado a evocar es que no es una combinatoria de objetos con una cierta propiedad que podemos describir, lo que nos da la teoría de la orden-indiscernibles para $L$. Cuando existe, que pasa a ser igual al conjunto definido, pero que en conjunto no siempre han deseado combinatoria de la propiedad.