¿Cuál es la integral $\int x^t/\Gamma(1+t) \, dt$ ? (En general: relación entre series e integrales)

Question

(La pregunta surge de jugar a traducir series en integrales)

Quería ver lo que significa tener un pariente "continuo" para powerseries y otras series; la más simple quizás $$ \begin{array} {} f_1(x) = \sum _{k=0}^\infty x^k = {1 \over 1-x} &\to & g_1(x)= \int_0^\infty x^t \,dt = - { 1\over \log(x) } \end{array}$$ No pude conseguir este $$ \begin{array} {} f_2(x)=\sum _{k=0}^\infty {x^k \over k!} = \exp(x) &\to& g_2(x)=\int_0^\infty { x^t\over \Gamma(1+t) } \,dt =\text{ ???} \end{array}$$ por ejemplo, Wolfram alpha...
y me gustaría proceder a algunos más general $$ \begin{array} {} f_\varphi(x)=\sum _{k=0}^\infty \varphi(k) x^k &\to& g_\varphi(x)=\int_0^\infty \varphi(t) x^t \,dt =\text{ ???} \end{array}$$ donde $\varphi(k)$ es alguna función significativa que produce conjuntos comunes de coeficientes para la serie de potencias.

Jugando un poco con las evaluaciones numéricas para $f_2(x),g_2(x)$ hasta ahora no descubrió nada obvio, pero estoy interesado, si hay algunas relaciones conocidas; por ejemplo si hay relaciones entre $g_2(x) \cdot g_2(y)$ quizás de forma análoga a $ f_2(x) \cdot f_2(y) = f_2(x+y)$ o similares.

¿Se sabe algo al respecto? ¿Existe una posible lista de sumas/integrales-relaciones realizadas en otro lugar?

En general, me gustaría tener más intuición sobre esto; me recuerda que posiblemente debería releer en las explicaciones de la fórmula de la suma de Euler/MacLaurin donde el "baile entre discreto y continuo" (como titula un bonito artículo sobre el trabajo de Delabaere sobre las series divergentes de Euler) tiene una relevancia similar. (Pero esto es posiblemente demasiado para este sitio de preguntas y respuestas...)

Answer 1

He aquí una idea: reescribir $g_2$ como

$$\int_0^{\infty} dt \frac{e^{-t \log{(1/x)}}}{t \Gamma(t)}$$

Ahora, $\frac1{t \Gamma(t)}$ es un función completa y por lo tanto tiene la siguiente representación en serie de Taylor en todo el plano complejo:

$$\frac1{t \Gamma(t)} = \sum_{k=0}^{\infty} a_k t^k$$

donde $a_0=1$ , $a_1=\gamma$ y para $k \ge 2$ El $a_k$ satisfacer

$$a_k = \frac{a_1 a_{k-1}-\sum_{j=2}^{k} (-1)^j \zeta(j) a_{k-j}}{k} $$

Integre y obtenga lo siguiente

$$g_2(x) = \sum_{k=0}^{\infty} a_k \frac{k!}{\left ( \log{\frac1{x}}\right )^{k+1}} $$

Answer 2

Una relación más de W/A: $$ \begin{array} {} f_{1,1}(x) = \sum _{k=1}^\infty k \cdot x^{k-1} = {1 \over (1-x)^2} &\to & g_{1,1}(x)= \int_1^\infty t \cdot x^{t-1} \,dt = { 1 - \log(x) \over \log^2(x) } \\& & \text{for Re} (\log(x)) \lt 1 \end{array}$$