Clive Newstead la respuesta es absolutamente correcto me gustaría añadir un pequeño anexo con respecto a la segunda redacción de la pregunta usando conjuntos de poder.
Como Clive ya señaló el "set" de $\{\aleph_0,\aleph_1,\aleph_2,\cdots\}$ no tiene casi nada que ver con el "set" $\{\omega,\mathscr{P}(\omega),\mathscr{P}(\mathscr{P}(\omega)),\cdots\}$. A pesar de que la segunda expresión parece más probable ser interpretado como un conjunto real es decir $\{\mathscr{P}^n(\omega);\;n\in\omega\}$, debido al hecho de que se introduce un nuevo tipo de operación a interpretar como otra cosa. No se puede recorrer el poder conjunto de la operación de más de un arbitrario finito número de veces. En algún momento usted tiene que tomar una unión.
Esta es una norma de la convención, en donde tiene sentido, para definir $\mathscr{P}^\alpha$$\alpha\geq\omega$, por el nivel de recursividad enfoque si $\alpha$ es un límite, a continuación, $\mathscr{P}^\alpha(\omega)=\bigcup_{\beta<\alpha}\mathscr{P}^\beta(\omega)$ e al $\alpha=\beta+1$ sólo tienes $\mathscr{P}^\alpha(\omega)=\mathscr{P}(\mathscr{P}^\beta(\omega))$.
Post script:
Volviendo bastante curioso en cuanto a cuanta distancia se puede poner entre los dos conjuntos de mencionar que me hicieron una pregunta a la que Asaf Karagila tuvo la amabilidad de proporcionar una respuesta. Para resumir suponiendo que ZFC la segunda clase es un subconjunto de la primera clase, pero puede fácilmente ser muy "fina" en ella (por ejemplo, usted puede hacer $\mathscr{P}(\omega)> \aleph_\kappa$ donde $\kappa$ es el primer ordinal tal que $\aleph_\kappa=\kappa$).
Si se cae la elección, entonces es coherente que la única cosa que las dos clases tienen en común es $\omega=\aleph_0$.
