Si $f$ es positivo y creciente, a continuación, $f'(x)x^2$ es el aumento?

Question

Si $f: (0, \infty)\to (0, \infty)$ es creciente, es cierto que la función $x\longmapsto f'(x) \cdot x^2 $ es el aumento? Podemos suponer que $f$ es dos veces diferenciable.

Alguien puede proporcionar un contra-ejemplo, una función de $f$ que es creciente y positivo, pero $f'(a)\cdot a^2 < f'(b)\cdot b^2$, para algunas de las $ a>b $ ?

Answer 1

$$ f(x) = 1-e^{-x}. $$ Tenemos $x^2 f'(x)>0$ todos los $x>0$$x^2 f'(x)\to0$$x\to\infty$, lo $x^2 f'(x)$ no puede seguir aumentando. (Aumenta por lo suficientemente pequeño como valores de $x$.)