Patrón de los pedidos de los elementos de un grupo cíclico

Question

Los garabatos como yo estaba pensando en otra reciente pregunta, yo elegí a cabo las órdenes de los elementos de la cíclico grupo $Z_{15}$ a saber:

1 elemento de orden 1

2 elementos de orden 3

4 elementos de orden 5

8 elementos de la orden de 15 de

En un grupo de orden 3 tiene 1 elemento de orden 1 y dos elementos de orden 3.

Hay otros ejemplos de este mismo patrón (potencias de 2), y cualquiera puede mostrar y demostrar una regla general.

Answer 1

Deje $G$ ser un grupo cíclico de orden $n$, y deje $a\in G$ ser un generador. Deje $d$ ser un divisor de a $n$.

Ciertamente, $a^{n/d}$ es un elemento de $G$ orden $d$ (en otras palabras, $\langle a^{n/d}\rangle$ es un subgrupo de $G$ orden $d$). Si $a^t\in G$ es un elemento de orden $d$,$a^{td}=e$, por lo tanto $n\mid td$, y por lo tanto $\frac{n}{d}\mid t$. Esto demuestra que $a^t\in \langle a^{n/d}\rangle$, y por lo tanto $\langle a^t\rangle=\langle a^{n/d}\rangle$ (ya que ambos son subgrupos de orden $d$). Por lo tanto, no es exactamente un subgrupo, vamos a llamar a $H_d$ $G$ orden $d$, para cada divisor $d$$n$, y todos estos subgrupos son en sí mismos cíclico.

Cualquier grupo cíclico de orden $d$ $\phi(d)$ generadores, es decir, hay $\phi(d)$ elementos de orden $d$$H_d$, y por lo tanto hay $\phi(d)$ elementos de orden $d$ $G$ . Aquí, $\phi$ es de Euler del phi de la función.

Esto puede ser comprobado para dar sentido a través de la identidad $$\sum_{d\mid n}\phi(d)=n.$$

Answer 2

El número de elementos de orden $d$ donde $d$ es un divisor de a$n$$\varphi(d)$.

Estos valores de $\varphi(d)$ son potencias de $2$ para todos los divisores $d$ $n$ precisamente al $n$ es una potencia de $2$ veces un producto de distintos números primos de Fermat, es decir, de los números primos de la forma $2^{2^k}+1$. El poder de la $2$ pueden $2^0$, y el producto puede ser el vacío. La prueba es inmediata a partir de la fórmula habitual para $\varphi$ en términos de energía primaria de la factorización.

Así que la respuesta es esencialmente el mismo que el clásico, uno de los cuales polígonos regulares son Euclidiana-edificable. Lamentablemente, no hay muchos primos de Fermat conocido. En este momento, sólo tenemos $3$, $5$, $17$, $257$, y $65537$ para jugar con.

Answer 3

Aquí te más sencilla de patrón sé

Para cualquier grupo cíclico $\mathbb{Z}_n \cong \left<a\right>$ algunos $a$ con el fin de $n$

A continuación, $\left<a\right>=\{a^k \mid k=1 \ldots n \}$ y el orden

$\left|a^k\right|=\frac{n}{\text{gcd}(k,n)}$ $k=1\ldots n$