Por qué ZFC+FOL no describe de forma unívoca/caracterizan a R o N?

Question

Me encuentro el siguiente texto en la página de Wikipedia de la lógica de primer orden: "La lógica de primer orden es el estándar para la formalización de las matemáticas en los axiomas y se estudia en los fundamentos de las matemáticas. La aritmética de Peano y de Zermelo–Fraenkel de la teoría de conjuntos son axiomatizations de la teoría de números y la teoría de conjuntos, respectivamente, en la lógica de primer orden. Ninguna de primer orden de la teoría, sin embargo, tiene la fuerza única de describir una estructura con un infinito de dominio, tales como los números naturales o de la línea real. Axiomas de los sistemas que hacen de describir estas dos estructuras (es decir, categórica axioma de sistemas) pueden obtenerse en la más fuerte de la lógica como de segundo orden de la lógica."

Aquí, lo que quiero preguntar es ¿qué describe de forma unívoca/caracterizan a decir? ¿Por qué es que $\textbf{FOL}$ no describe de forma unívoca/caracterizar $\mathbb{R}$ o $\mathbb{N}$?

Answer 1

¿Por qué es que FOL . . . no describe de forma unívoca/caracterizar $\mathbb{R}$ o $\mathbb{N}$?

Aquí está la declaración precisa: si $\Phi$ es cualquier conjunto de primer orden de las sentencias verdaderas en $\mathcal{N}=(\mathbb{N}; +, \times)$, entonces no es una estructura $\mathcal{A}$ tal que

• Las oraciones en $\Phi$ también se cumplen en $\mathcal{A}$, y

• $\mathcal{A}\not\cong\mathcal{N}$.

Es decir, no existe un conjunto de primer orden de las frases caracteriza $\mathcal{N}$ hasta el isomorfismo. Lo mismo es cierto para cualquier otro infinito de la estructura.

Esto es una consecuencia del teorema de compacidad para la lógica de primer orden; pero usted también podría estar interesado en el Lowenheim-Skolem teorema, que describe otro obstáculo fundamental para describir las estructuras de la lógica de primer orden.

Answer 2

Una manera concreta de ver este fenómeno es observar que el ultrapower de un determinado modelo de $M$ va a producir un nuevo modelo de ${}^\ast\! M$ que puede ser fácilmente demostrado ser nonisomorphic a $M$. Se trata de una primaria de la extensión de $M$ por Los del teorema. La construcción de la ultrapower puede llevarse a cabo en ZFC. Tenga en cuenta que para aplicar los teoremas de compacidad normalmente también requieren alguna forma de que el axioma de elección.

Aquí $\mathbb N$ $\mathbb R$ se dice a veces ser categórica. Dos observaciones están en orden.

(1) Independientemente de los méritos de los reclamos de categoricity, se requiere más que de la lógica de primer orden. Por ejemplo, para caracterizar los reales necesitamos la integridad de la propiedad que se requiere de un cuantificador se ejecuta sobre todos los subconjuntos de a $\mathbb R$.

(2) El categoricity es dependiente en un modelo de fondo de ZFC. Modelo de la dependencia-a veces se oculta detrás de hablar de la intención de modelos o la intención de interpretaciones; véase por ejemplo, este post para una discusión. En diferentes modelos de ZFC los números naturales se comportan de manera muy diferente, y lo mismo para los reales.

Answer 3

Hay dos maneras de interpretar esta pregunta, y la distinción es muy importante.

Trabajando dentro de un universo de $\sf ZFC$, el uso de la lógica de primer orden dentro de el universo, de hecho, es imposible caracterizar $\Bbb R$ o $\Bbb N$, como Noé, escribió. El uso de uno de la gran variedad de métodos (Lowenheim-Skolem teoremas de compacidad, ultrapowers) podemos producir modelos con la misma teoría como $\Bbb R$ o $\Bbb N$ que tienen una completamente diferente cardinalidad. De hecho, incluso podemos producir modelos de la misma cardinalidad que no son isomorfos.

Al mismo tiempo, uno puede interpretar esto como preguntar, suponiendo que trabajamos con el marco de la lógica de primer orden y $\sf ZFC$. Puede que nos caracterizan de forma exclusiva los reales o los números naturales? Es decir, trabajamos dentro de un fijo universo de $\sf ZFC$, con la lógica de primer orden como la lógica subyacente. Podemos caracterizar los números naturales o números reales en el interior de la modelo? La respuesta es "sí, hasta el isomorfismo (en el modelo)". Lo que podemos demostrar es que:

1. Existe un grupo que representa a los números naturales, y existe un grupo que representa a los números reales.
2. Cualquier otro objeto $X$ dentro del modelo, que el modelo satisface la condición "$X$ es un bien fundado modelo de Peano" o "$X$ es un Dedekind-completa ordenó campo" es isomorfo---dentro del modelo---para los números naturales o números reales, respectivamente.

De hecho, es por eso que nos tomamos la molestia de usar la lógica de primer orden y la teoría de conjuntos como una fundación. De segundo orden, la lógica no tiene ninguna prueba de verificación del algoritmo. Así que en lugar de usar la segunda-la lógica de orden en los números naturales, que en lugar de demostrar que $\sf ZFC$ demuestra tal y tal, y por lo tanto la transformación de un segundo, o tercer, o de mayor orden de la lógica de afirmaciones en un primer orden de instrucción en el lenguaje de la teoría de conjuntos. Y desde la lógica de primer orden no tiene un método algorítmico de comprobar si algo es una prueba válida, esto significa que podemos programar un ordenador para comprobar si nuestra prueba de sonido.

Answer 4

Todavía en cierta medida $\mathbb N$ es characterisable en FOL, más un pequeño incremento. El incremento será el no-FOL requisito de un mínimo de estructura de satisfacer algunas de lista de axiomas (axiomas de Peano en el FOL versión para $\mathbb N$). ¿Qué acerca de la $\mathbb R$ ?