Lo que está detrás de la palabra "problemas de tamaño"?

Question

A veces escucho el término "problemas de tamaño", que se refiere a situaciones en las que una determinada colección de objetos "es demasiado grande para ser un conjunto". ¿Qué se entiende por "demasiado grande para ser un juego"? ¿Por qué es la grandeza contradictorio (es sólo contradictoria si se supone que el axioma de reemplazo, a la derecha)? Es la "grandeza" una clara término definido? No parece así:

En el libro de teoría de conjuntos: una introducción por Vaught, dice en la página 12:

Pero la idea de los 'grandes', sigue siendo vaga y nuestros comentarios sobre la 'grandeza' son para ser tomadas sólo heurística.

Pero el uso de la sustitución y global de la opción, se puede probar el siguiente riguroso teorema:

Una clase es una clase adecuada si y sólo si es bijective a V, la clase de todos los conjuntos.

No es este teorema diciendo que "demasiado grande" realmente tiene un significado preciso?

Cuando uno habla de la "grandeza", hace uno asumir el axioma de reemplazo? Yo creo que sí, porque de lo contrario, el término no tendría mucho sentido en combinación con contradicciones.

Answer 1

Sí, si tienes global de la opción, entonces usted puede probar que el principio del que hablas, lo que se conoce como Limitación de Tamaño.

Sin embargo, en la mayoría de los casos donde el sector informal de "demasiado grande para ser un conjunto" utiliza el argumento, uno generalmente se asume que el trabajo en ZF(C), en donde ni el mundial de elección ni la limitación de tamaño, incluso puede ser declarado. Por lo general, lo informal argumento significa algo así como

Si la colección de todas las cosas que estamos hablando no constituía un conjunto, entonces se sigue que también sería necesario un conjunto de todos los conjuntos (o un conjunto de todos los ordinales), en el que caso de la paradoja de Russell (o Burali-Forti) obtener una contradicción. Para su colección definitivamente no especificar un conjunto.

Aquí, el paso en el que concluyen que "no tendría que ser un conjunto de todos los conjuntos" a menudo implica la Sustitución, pero no necesariamente. Por ejemplo, la colección de todos los embarazos únicos, es "demasiado grande" por el solo hecho de que el Axioma de la Unión-y del mismo modo, tomando la unión de un pequeño número finito de veces será suficiente para demostrar que las colecciones como "todos los grupos" o "todas las categorías pequeñas" son demasiado grandes para ser conjuntos.

Answer 2

El punto es que la Sustitución de garantías que una clase que se pueden poner en bijection con un conjunto, es un conjunto. Aquí la clase de medios definible de la colección, y un bijection significa definibles bijection.

Si cada conjunto tiene una cardinalidad, luego adecuada clases son "demasiado grandes" para tener una cardinalidad. Que es exactamente la idea.

La cosa es, que suponiendo global elección, cada dos adecuada clases son equipotente. Así que no es sólo "uno" tamaño apropiado de clases.

Sin Sustitución, es posible que haya un adecuado clase que es contable, en el sentido de que no es definible bijection entre los números naturales y de la clase. Y si eso no es una motivación para aceptar el Reemplazo, no sé lo que es...

Answer 3

Para conjuntos pequeños de la propiedad de que un determinado objeto está en el conjunto es muy restrictiva. Por ejemplo, la propiedad de una determinada "cosa" es un número entre $7$ $456$ es muy exigente en un sentido universal. Sin embargo, la propiedad de que el conjunto no contiene en sí misma no descartar muchos de los objetos, por lo que en un sentido riguroso, permite que los elementos suficientes de que la membresía de la propiedad no está en consonancia con nuestro intuitivo o axiomática nociones de pertenencia.

El " set " o de la clase descrita en el último ejemplo es el tema de russel paradoja, una contradicción implícita por el axioma de comprensión, la desaparecida axioma de que cualquier bien formados propiedad define un conjunto. Así que una distinción se había hecho entre grupos y clases, y los conjuntos se definen en una jerarquía de otros conjuntos, de modo que "peluquería que sólo se afeita..." las clases no se convierta en un real establece en su teoría. El resultado es que algunas colecciones como " el conjunto de bienes de funciones con valores en $\mathbb{R}$' son conjuntos y colecciones como "el conjunto de todos los conjuntos" y " el conjunto de todos los reales valores de los mapas en cualquier $X$' no lo son.

Answer 4

Creo que la gente (los que viven junto a los infinitos) son reacios a decir que la idea de que algo sea grande es un verdadero matemático de la instrucción, ya que es conocido por ser relativa.

Cuando se presentan como usted lo hizo, parece que "es demasiado grande" que significa realmente ser tan grande como sea posible. Pero mira una contables modelo de ZFC. Su universo es externamente tan grande como cualquier conjunto infinito (algunos de los cuales podrían internamente considerarse como finito), para luego ser demasiado grande es sólo permitir una correspondencia con el universo: esto no tiene que ser una propiedad intrínseca de la clase o del conjunto de elementos (según el modelo) de esta clase, pero esto depende del modelo completo.

Cuando se mira más de cerca por qué algunas cosas son "demasiado grandes", encuentra que las limitaciones son más sutiles que usted podría pensar. Un ejemplo de esto es la limitación que aparece cuando un concepto tiene una amplia gama que permite la auto-referencia de alguna manera, y que contrario a esta idea existe. Famoso y directa ejemplos de esto son:

-$V$ es "demasiado grande" para ser un conjunto debido a la noción de "elemento de $\ . \ $" -$\mathfrak{B}(\mathbb{N})$ es "más grande" de $\mathbb{N}$, porque la noción de "elemento de $f(.)$" -$Ord$ es demasiado grande para ser un juego para posiblemente el mismo motivo.

Limitación de tamaño sintetiza esta pero es discutible la idea de que tamaño es realmente el punto clave en la materia.

A pesar de eso, la imagen de tamaño funciona porque está en conformidad con la ingenua (aunque verdadero, por la comprensión de la idea de que las subclases son más pequeño: un sublass de un conjunto es un conjunto.

Espero que esto no es demasiado vaga.