Es esta suma en potencia número libre y constante de Euler verdad?

Question

Deje $p_{n,r}$ $r$- ésimo más pequeño $n$-potencia número gratuito. Por ejemplo, $p_{2,7}$ $7$- ésimo cuadrado libre número y $p_{5,7}$ $7$- ésimo más pequeño $5$-ésima potencia número gratuito.

Deje $q_{n,r}$ $r$- ésimo número que contiene (o es divisible por) $n$- ésima potencia. Por ejemplo, $q_{2,7}$ $7$- ésimo número más pequeño que contiene un cuadrado y $q_{5,7}$ $7$- ésimo número más pequeño que contiene a la quinta potencia.

Definimos $\alpha_n$ $n \ge 2$ como el cociente de la suma de los $n$-ésimo de energía libre de número a la suma de los $n$-ésima potencia que contiene los números de decir

$$ \alpha_n = \lim_{r \to \infty}\frac{p_{n,1}+p_{n,2}+\ldots + p_{n,r}}{q_{n,1}+q_{n,2}+\ldots + q_{n,r}}. $$

Pregunta: ¿Es cierto que

$$ \sum_{n = 2}^{\infty} \frac{\alpha_n}{n} = 1 - \gamma $$

donde $\gamma$ es el de Euler-Mascheroni constante?

Motivación: me encontré con un programa y la suma parecen converger a 0.422785 que está cerca de a $1-\gamma$.

Answer 1

La actualización. La igualdad es verdadera. Desde$$Q_{n}\left(x\right)=\frac{x}{\zeta\left(n\right)}+O_{n}\left(x^{1/n}\right) $$ we have, using Abel's summation, that $$ \sum_{p_{n}\leq N}p_{n}=Q_{n}\left(N\right)N-\int_{1}^{N}Q_{n}\left(t\right)dt $$ $$a=\frac{N^{2}}{2\zeta\left(n\right)}+O_{n}\left(N^{1+1/n}\right). $$ In the same spirit we get $$ \sum_{q_{n}\leq N}q_{n}=\left(1-Q_{n}\left(N\right)\right)N-\int_{1}^{N}\left(1-Q_{n}\left(t\right)\right)dt $$ $$a=\frac{N^{2}}{2}\left(1-\frac{1}{\zeta\left(n\right)}\right)+O_{n}\left(N^{1+1/n}\right) $$ so we have $$\alpha_{n}=\frac{p_{1,n}+p_{2,n}+\dots}{q_{1,n}+q_{2,n}+\dots}=\lim_{N\rightarrow\infty}\frac{\sum_{p_{n}\leq N}p_{n}}{\sum_{q_{n}\leq N}q_{n}}=\zeta\left(n\right)-1 $$ hence $$\sum_{n\geq2}\frac{\alpha_{n}}{n}=\sum_{n\geq2}\frac{\zeta\left(n\right)-1}{n}=\color{red}{1-\gamma}$$ como quería (para una prueba de la última identidad ver aquí).