Es posible reescribir $\sin(x) / \sin(y)$ en forma de $\sin(z)$?

Question

Estoy mirando para conseguir una respuesta en particular en forma de $\sin(z)$, y me las arreglé para llegar a una respuesta en la forma $\sin(x)/\sin(y)$. He comprobado en una calculadora, que ha confirmado que son el mismo número, pero ¿cómo puedo convertir la fracción en un solo pecado en el fin de mostrar que, sin depender de la calculadora?

Answer 1

No existe una solución general $\sin(x)/\sin(y) = \sin(z)$ (para todos los $x,y$). Esto puede verse fácilmente mediante el establecimiento $y=0$ y, a continuación, la fracción diverge - que $\sin(z)$ nunca lo haría.

Answer 2

Siempre tendrás $-1\leq\sin z\leq 1$, mientras que $\sin x/\sin y $ puede ser cualquier número real o incluso ser indefinido al $y=0$. Por ejemplo, $$\frac {\sin\pi/2}{\sin\pi/4}=\frac1 {1/\sqrt2}=\sqrt2>1$$ and no choice of $z $ will give you $\sen z=\sqrt2$.

En el caso en el que el cociente entre $-1$$1$, puede escribir $$z=\arcsin\left (\frac {\sin x}{\sin y}\right), $$ pero creo que no hay una expresión más sencilla.