Muchas preguntas acerca de una botella de Klein.

Question

1. ¿Qué es un CW complejo de la estructura y un $\Delta$-estructura compleja en la botella de Klein?
2. ¿Cuál es el grupo fundamental de la botella de Klein?
3. ¿Cuál es la homología simplicial de la botella de Klein?
4. ¿Cuál es el celular de la homología de la botella de Klein?
5. ¿Qué es una descripción de la isomorfismo entre el celular y la homología simplicial?
6. ¿Qué es una descripción de la abelianization mapa desde el grupo fundamental de la a $H_1$?

Answer 1

1. Mira la fundamental polígono de la botella de Klein: $abab^{-1}$.

Esta es una $\Delta$-complejo con un 0-simplex, tres 1-simplicies, y dos de 2 simplicies.

Tenga en cuenta que usted tiene más flexibilidad en el encolado cuando se utiliza una estructura de CW. En particular, usted puede construir la botella de Klein con un 0-célula, dos de 1 de las células, y una 2-celda (pensar en el uso de una hoja de papel y pegar los bordes como se indica en el polígono, así que usted no tiene que preocuparse por el borde "$c$" en particular).

2. $\pi_1(K) \cong \langle[a],[b] : [a][b] = [b][a]^{-1} \rangle$. Esto se puede hacer a través de Van Kampen y descomponer el polígono (de $K$, sin que el borde de la $c$) en dos conjuntos de $A$ $B$ donde se puede tomar $A$ a ser la unión de todos los bordes espesado un poco, y $B$ a ser el interior del polígono con un poco de solapamiento con $A$, de modo que $A \cap B$ se ve como un marco.

3. Mira la imagen de arriba y hacer el cálculo. Usted debe obtener, con coeficientes en $\mathbb{Z}$, $H_0(K) = \mathbb{Z}$, $H_1(K) = \mathbb{Z} \oplus \mathbb{Z}/2\mathbb{Z}$, y $H_2(K) = 0$ (y más grupos de desaparecer). Una comprobación de validez es: $K$ está conectado, una superficie, y nonorientable, obligando a $H_0$$\mathbb{Z}$$H_2$$0$. Se calculó el grupo fundamental y Hurewicz nos dice $H_1$ es el abelianization de $\pi_1$.

4. El complejo se parece a (debido a la anterior estructura de CW) $$0 \to \mathbb{Z} \to \mathbb{Z} \oplus \mathbb{Z} \to \mathbb{Z} \to 0$$ El único distinto de cero mapa es el de $\mathbb{Z} \to \mathbb{Z} \oplus \mathbb{Z}$. Esto, a partir de la imagen de arriba, está dada por (WLOG) multiplicación por $2$ en la primera coordenada y $0$ en el segundo, suponiendo que la primera $\mathbb{Z}$ es generado por $a$ y el segundo por $b$. Ahora, que tiene todos los mapas, obtendrá la misma respuesta que te dieron en $(3)$.

5. Ver Hatcher (por ejemplo el Teorema 2.35).

6. Ver Hurewicz teorema o Hatcher 2.Una. La intuición básica que debe de ir en es $f: I \to X$ puede ser visto como un camino y una singular 1-simplex.