Mostrar que un nonabelian grupo debe tener al menos cinco elementos distintos

Question

Mostrar que un nonabelian grupo debe tener al menos cinco elementos distintos.

Acabo de aprender álgebra abstracta por la auto-estudio. Quiero ayudar a resolver este problema. Me acaba de dar una pista.

Answer 1

Usted necesita una instancia de $ab\ne ba$. Que requiere de $a\ne b$. También se $a\ne 1$ $b\ne 1$ $1$ viajes. También, $a,b$ no son inversos el uno del otro como los que viajan. Por lo tanto $1, a, b, ab, ba$ son parejas distintas

Answer 2

De hecho, debe tener al menos $6$ elementos.

Puedes descartar las posibilidades de que el grupo tiene exactamente $1$ elemento de inmediato. Puede descartar la posibilidad de que el grupo tenga un primer número de elementos debido a que tales grupos son cíclicos, por lo $2,3$ $5$ son desechados.

Queda por demostrar que no abelian grupo con $4$ elementos existe.

Si tiene un elemento de orden $4$ entonces es cíclico, de lo contrario, cada elemento debe tener un orden $2$ o $1$. Y un grupo en el que esto ocurre es abelian, ya $(ab)^2=e=a^2b^2$

Answer 3

Alternativa de solución: Supongamos que no es abelian, entonces tiene dos elementos $a$ $b$ que no conmutan, por lo tanto el grupo contiene a $e,a,b,ab,ba$ y debe tener al menos $5$ elementos.

Answer 4

Sugerencia: Trate de hacer una lista de todos los grupos de órdenes de $1,2,3,4$ (hasta el isomorfismo). No hay muchos (cinco para ser exactos) y verás, todos ellos son abelian. (Uno podría agregar que también hay uno sólo de orden $5$ y también es abelian.)