distribución de productos de distribución uniforme dos, qué hay de 3 o más

Question

Decir $X_1, X_2, \ldots, X_n$ son independiente y distribuidos idénticamente uniforme variables al azar en el intervalo $(0,1)$.

¿Cuál es la distribución de producto de dos variables al azar, por ejemplo, $Z_2 = X_1 \cdot X_2$?

Qué pasa si hay 3; $Z_3 = X_1 \cdot X_2 \cdot X_3$?

¿Qué pasa si hay $n$ de dichas variables uniformes? $Z_n = X_1 \cdot X_2 \cdot \ldots \cdot X_n$?

Answer 1

Al menos podemos trabajar la distribución de dos IID ${\rm Uniform}(0,1)$variables $X_1, X_2$: que $Z_2 = X_1 X_2$. Then the CDF is $$\begin{align*} F_{Z_2}(z) &= \Pr[Z_2 \le z] = \int_{x=0}^1 \Pr[X_2 \le z/x] f_{X_1}(x) \, dx \\ &= \int_{x=0}^z \, dx + \int_{x=z}^1 \frac{z}{x} \, dx \\ &= z - z \log z. \end{align*}$$ Thus the density of $Z_2$ is $$f_{Z_2}(z) = -\log z, \quad 0 < z \le 1.$$ For a third variable, we would write $$\begin{align*} F_{Z_3}(z) &= \Pr[Z_3 \le z] = \int_{x=0}^1 \Pr[X_3 \le z/x] f_{Z_2}(x) \, dx \\ &= -\int_{x=0}^z \log x dx - \int_{x=z}^1 \frac{z}{x} \log x \, dx. \end{align*}$$ Then taking the derivative gives $$f_{Z_3}(z) = \frac{1}{2} \left( \log z \right)^2, \quad 0 < z \le 1.$$ In general, we can conjecture that $$f_{Z_n}(z) = \begin{cases} \frac{(- \log z)^{n-1}}{(n-1)!}, & 0 < z \le 1 \\ 0, & {\rm otherwise},\end{cases}$$ which we can prove via induction on $n$. Les dejo esto como un ejercicio.

Answer 2

Si $X_1$ es uniforme, entonces $-\log X_1 \sim \textrm{Exp}(1)$. Por lo tanto, $$- \log X_1 \dots X_n = -\log X_1 + \dots -\log X_n$ $ es una suma de variables al azar exponenciales independientes y tiene distribución Gamma con parámetros $(n,1)$y densidad $g(y) = \frac{1}{(n-1)!} y^{n-1}e^{-y}$ $y\geq 0$. Que $f$ la densidad del producto $X_1 \dots X_n$, y luego fórmula de transformación de Jacobi da $ de $$ f( h^{-1}(y) ) | \partial h^{-1}(y) | = g(y), $ $h(x) = -\log x$ y $h^{-1}(y) = \exp(-y)$. La sustitución $y=h(x)$ en la ecuación antedicha da %#% $ #%