Encuentra todas las funciones de real a real que satisfagan esta ecuación funcional.
$$f\left(\frac {x+y}{x-y}\right)=\frac {f(x)+f(y)}{f(x)-f(y)}$$
No pude llegar a la respuesta final pero me sale $f(0) = 0$ y $f(1) = 1$ y esta función es una función impar
Es fácil ver que $f(0) = 0, f(1) = 1, f(-x) = -f(x),$ así que asumimos esto.
Observamos que $$f\left(\frac{x+a x}{x-a x}\right) = \frac{f(x) + f(x a)}{f(x) - f(x a)}.$$ Factorización por $x$ en el lado derecho, vemos que $f(x a) = C f(x)$ (sólo resolver en el RHS). De hecho, si fijamos $x = 1,$ vemos que $$f(a x) = f(a) f(x).$$ En concreto, esto significa que $f(a^2) = f(a)^2,$ así que $f$ es positivo en $\mathbb{R}_+.$ Es más, utilizando la condición original, junto con la positividad de $f$ en números positivos, vemos que $f$ conserva el orden. Restringiendo al eje real positivo, vemos que $f$ es un homomorfismo preservador del orden de $\mathbb{R}_+,$ y como es fácil de ver, esto significa que $f$ es de la forma $x\rightarrow x^c,$ para algunos $c$ (véase esta discusión) . Ahora, introduciendo la restricción original, es fácil ver que $c=1,$ así que $f(x) = x.$
Fácil de ver $f(1)=1$ y $f(0)=0$ .
Supongamos que $f'(x)$ existe para todos $x \in \mathbb{R}$ (o Sólo en algún momento).
Sea $y=ux$ entonces $f(\dfrac{1+u}{1-u})=\dfrac{f(x)+f(ux)}{f(x)-f(ux)}$ .
Diferenciar respecto a $x$ obtenemos $0=2\dfrac{uf(x)f'(ux)-f'(x)f(ux)}{[f(x)-f(ux)]^2}$ es decir, $uf(x)f'(ux)=f'(x)f(ux)$ .
Utilizando $y=ux$ se tiene $\dfrac{xf'(x)}{f(x)}=\dfrac{yf'(y)}{f(y)}$ para $\forall x,y \in \mathbb{R}$ Así que $\dfrac{xf'(x)}{f(x)}=C$ (una constante). Esta ecuación diferencial da como resultado que $f(x)=ax^C$ para algún número real $a$ .
Desde $f(1)=1$ Así que $a=1,f(x)=x^C$ .
Desde $f(0)=0$ Así que $C>0$ .
Sea $y=1$ entonces $(\dfrac{x+1}{x-1})^C=f(\dfrac{x+1}{x-1})=\dfrac{f(x)+1}{f(x)-1}=\dfrac{x^C+1}{x^C-1}$ esto es válido para todos $x$ si $C=1$ .
Por lo tanto $f(x)=x$ .
Observación : No tengo ni idea de si $f'(x)$ no existe.
¿Has intentado encontrar funciones muy sencillas que satisfagan esta relación? Por ejemplo, ¿puedes encontrar una función cuadrática $f(x) = ax^2 + bx +c$ que funciona? Si es así, ¡amplíe sus horizontes! Si no es así, ¿qué ha fallado y puedes solucionarlo?
Tengo la corazonada de que esa función debe pertenecer a una clase muy simple de polinomios, pero aún tengo que comprobar que son las únicas funciones que pueden funcionar. No estoy seguro de que la imparidad (en toda su generalidad) tenga mucho que ver.
Por último, no veo ninguna razón por la que $f(1) = 1$ .
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