Por favor, Dame una explicación intuitiva de 'Teorema de la función implícita'. He leído algunos pedacitos y pedazos de información de algunos libros de texto, pero se ven demasiado confusas, sobre todo no entiendo por qué usan Jacobian matriz para ilustrar este teorema.
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Aleksandr Levchuk
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El teorema de la función implícita en realidad sólo se reduce a esto: si me puede escribir $m$ (lo suficientemente bueno!) ecuaciones en $n + m$ variables, luego, cerca de cualquier suficientemente agradable punto solución, no hay una función de $n$ variables que me dan los restantes $m$ coordenadas de las inmediaciones de la solución de puntos. En otras palabras, no se puede, en principio, resolver estas ecuaciones y obtener la última $m$ variables en términos de los primeros $$ n variables. Pero (!) en general, esta función sólo es válida en algunos pequeños conjunto y no dar todas las soluciones.
He aquí un ejemplo concreto. Considere la ecuación $x^2 + y^2 = 1$. Esta es una ecuación en dos variables y fijos $x_0 \ne 1, y_0 \ne$ satisfacer la ecuación, no es una función $f$ de $x$ tales que $x^2 + f(x)^2 = 1$ $y$ $x_0$ y $f(x_0) = y_0$. (Explícitamente, por $y_0 > 0$, $f(x) = \sqrt{1 - x^2}$, y $y_0 < 0$, $f(x) = -\sqrt{1 - x^2}$.) Observe que la función no es dar a todos la solución de puntos - pero esto no es sorprendente, ya que la solución locus de esta ecuación es un círculo, que no es la gráfica de cualquier función. Sin embargo, no me básicamente resuelto la ecuación y escrito $y$ en $x$.
Vamos a utilizar un ejemplo sencillo con sólo dos variables. Asumir que hay alguna relación $f(x,y)=0$ entre estas variables (que es un general de la curva en 2D). Un ejemplo sería de $f(x,y) =x^2+y^2-1$, que es el círculo unitario en $\mathbb{R}^2$. Ahora usted está interesado en averiguar la pendiente de la recta tangente a esta curva en algún punto de $x_0,y_0$ en la curva [$f(x_0,y_0)=0$].
Lo que puedes hacer es cambiar el valor de $x$ un poco de $x = x_0 + \Delta x$. Usted está interesado entonces cómo $y$ los cambios ($$y= y_0 + \Delta$ y); hay que recordar que estamos interesados en los puntos de la curva con $f(x,y)=0$. El uso de expansión de Taylor de $f(x,y)=0$ rendimientos (hasta orden más bajo en $\Delta x$ y $\Delta$y) $$f(x,y)= \partial_x f(x_0,y_0) \Delta x + \partial_y f(x_0,y_0) \Delta y =0.$$ La pendiente es así dado por $$ \frac{\Delta y}{\Delta x} = - \frac{ \partial_x f(x_0,y_0)}{\partial_y f(x_0,y_0)}.$$ Como $\Delta x \to 0$ los términos de orden superior en la expansión de Taylor (que hemos descuidado) desaparecen y $\frac{\Delta y}{\Delta x}$ se convierte en la pendiente de la curva definidas implícitamente a través de $f(x,y)=0$ $(x_0,y_0)$.
Más variables y dimensiones superiores espacios pueden ser tratadas de forma similar (usando la serie de Taylor en varias variables). Pero el ejemplo anterior debe proveer suficiente intuición y perspicacia para entender el 'teorema de la función implícita'.
Chris Porter
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Las otras respuestas han hecho un trabajo realmente bueno explicando el teorema de la función implícita en el valor de cálculo multivariable. No es una generalización del teorema de la función implícita que es muy útil en la geometría diferencial se llama el rango teorema.
Rango Teorema: se Asume que $M$ y $N$ son colectores de dimensión $m$ y $n$, respectivamente. Si $F : M \N$ es un buen mapa, $p \in M$ y $F_{*} : T_qM \a T_{F(p)}N$ tiene rango de $k$ en un barrio de $p$, luego están las coordenadas de $(x^1, \dots, x^k, \dots, x^m)$ centrado alrededor de $p$ y $v^1, \dots, v^n)$ centrado alrededor de $F(p)$ tal que en coordenadas locales, $F$ es dada por la ecuación $$ F(x^1, \dots, x^k, \dots, x^m) = (x^1, \dots, x^k, 0, \dots, 0)$$
Esencialmente, el rango teorema nos dice que si el total derivado de $F$ en una vecindad de p $$ tiene rango de $k$, entonces localmente alrededor de $p$, podemos pensar de $F$ en forma lineal mapa con el rango de $k$.
Aquí es un ejemplo de cómo utilizar el rango teorema para probar una versión del teorema de la función implícita en la geometría diferencial.
Se asume que $M$ es una variedad de dimensión $n+k$ y $N$ es un colector de dimensión $k$. Se asume que $\Theta : M \N$ es un buen mapa y $\Theta_{*} : T_pM \a T_{\Theta(p)}N$ tiene rango de $k$ i.e $p$ es un punto habitual). Desde el máximo rango es un estado abierto, de ello se sigue que $F_*$ tiene rango de $k$ en un barrio de $p$. Por el rango teorema, hay coordenadas $(x^1, \dots, x^{n+k})$ definida en el conjunto abierto $U$ y centrada alrededor de $p$ y coordenadas centrado alrededor de $\Theta(p)$ tal que $$\Theta(x^1, \dots, x^{n+k}) = (x^1, \dots, x^k).$$ Si escribimos $q = \Theta(p)$, entonces la ecuación anterior nos dice que $$\Theta^{-1}(q) \cap U = \{ p \U : x^{1}(p) = \dots = x^{k}(p) = 0 \}$$ lo cual implica que $ (x^{k+1}, \dots, x^{k+n}) : \Theta^{-1}(q) \cap U \to \mathbb{R}^n$ es un abierto topológica de la incrustación. Esto define un $$n-dimensional suave estructura en $\Theta^{-1}(q) \cap U$, y en las coordenadas, $\iota : \Theta^{-1}(q) \cap U \a U$ dada por $(x^{k+1}, \dots, x^{k+n}) \mapsto (0, \dots, 0, x^{k+1}, \dots, x^{k+n})$, que es suave.
En resumen, si $p$ es un punto a regular y $q = \Theta(p)$, luego están las coordenadas de $(x^1, \dots, x^{n+k})$ para $M$ todo $p$ tales que $(x^{k+1}, \dots, x^{k+n})$ son las coordenadas de $\Theta^{-1}(q)$ alrededor de $p$ (una vez convenientemente restringido por supuesto). Esta es una especie de diferencial de los geómetras de la formulación de la normal teorema de la función implícita.
EDIT: En los comentarios, David señaló que la declaración del rango teorema anterior estaba mal. La razón es que el rango de $ \geq k $ es un estado abierto y el rango de $< k $ es un estado cerrado, que no entendí cuando escribí esta respuesta hace 2 años. Las cosas deben ser fijo ahora
Alya
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Básicamente, existen dos interpretaciones de (parte de) el teorema de la función implícita (IMFT).
Uno es que lo que nos dice en qué condiciones tenemos soluciones para algunos ecuación de la forma $f=0$, lo que ha sido mencionado en Zhen Lin respuesta.
Más precisamente,
vamos a $E$ ser un conjunto abierto de ${\Bbb R}^{n+m}={\Bbb R}^n\times{\Bbb R}^m$ y $f:E\to {\Bbb R}^n$ $C^1$ de asignación tal que $f(a,b)=0$, donde $(a,b)\in {\Bbb R}^n\times {\Bbb R}^m$. Pon $A=f'(a,b)$ y suponga que $A_x$ es invertible, donde $A_x$ denota la restricción de la lineal mapa de $Un$ en ${\Bbb R}^n\times\{0\}$. $\etiqueta{*}$
A continuación, podemos "resolver" la ecuación de $f(x,y)=0$ para cada uno de los $ $ y$ $b$, lo que significa que en un abrir barrio $W\subconjunto{\Bbb R}^m$ de $b$, tenemos una función definida implícitamente $g:W\to {\Bbb R}^n$ tal que $f(g(y),y)=0$ para todo $y\W$. En particular, $f(g(b),b)=f(a,b)=0$. La palabra "resolver" podría ser un poco confuso. Después de todo, ¿qué significa para usted la solución de una ecuación $f=0$? Básicamente, esto significa que uno puede escribir algunas variables en términos de otros. Por otro lado, la IMFT sólo indica la existencia de $g$, pero no lo $g$.
Otra manera de mirar el IMFT es que se dice que cuando un conjunto definido por $$ S=\{z\in{\Bbb R}^d|f(z)=0\} $$ a nivel local es una gráfica de alguna función. (Aquí "localmente un gráfico" significa que uno puede encontrar un conjunto abierto de $U\subconjunto {\Bbb R}^d$ que $U\cap S$ es un gráfico). Bajo el supuesto de $(*)$, tendríamos la siguiente conclusión
hay exsit abrir conjuntos de $U\subconjunto{\Bbb R}^{n+m}$ y $W\subconjunto {\Bbb R}^m$, con $(a,b)\en U$ y $b\W$ que $$ U\cap S=G:=\{(g(y),y)\mid y\W\}, $$ donde $g$ es una función a partir de $W$ a ${\Bbb R}^n$.
Tenga en cuenta que nosotros llamamos $G$ la gráfica de la función $g$.
El uso de las notaciones en la segunda interpretación, el primero básicamente le dice $$ G\subconjunto de U\cap S. $$
