Dado blanco 10, 9 verde y negro 7. En ¿de cuántas maneras se pueden seleccionar una o más bolas?

Question

Pregunta

Suponiendo que las bolas idénticas, excepto por la diferencia en los colores, el número de maneras en las que uno o más bolas puede ser seleccionado desde 10 blanco, 9 verdes y 7 bolas negras es?

Respuesta en el libro es $(10+1)(9+1)(7+1)-1 = 880-1=879$

No entiendo la respuesta

Lo que tengo entendido y lo que he hecho

La pregunta está pidiendo que fuera de las bolas dado en cuántas maneras puedo seleccionar una bola + de cuántas maneras podemos seleccionar dos bolas + . . . + ¿en cuántas maneras podemos seleccionar el 25 de bolas + de cuántas maneras podemos seleccionar el 26 de bolas.

Una bola puede ser seleccionado en 3 maneras de decir, de seleccionar verde, blanca o bola negra.

Dos bolas puede ser seleccionado en 3+3=6 maneras, es decir, ya sea que usted seleccione dos de color verde o negro dos o dos blancas, o uno verde, uno blanco o uno verde, uno blanco o uno negro y uno blanco.

Sólo esto es lo que puedo hacer.

No sé cómo escribir esto en términos de la combinación. Así que por favor me ayude con esto.

Answer 1

En primer lugar, usted puede seleccionar de uno a diez bolas blancas. $(10+1)$ opciones.

A continuación, puede seleccionar de uno a nueve bolas verdes. $(9+1)$ opciones.

Finalmente, usted puede seleccionar ninguno para siete bolas rojas. $(7+1)$ opciones.

Poner esto juntos, que es donde el $(10+1)(9+1)(7+1)$ deriva.

Sin embargo como se le pidió a contar selecciones de "uno o más bolas", usted no puede seleccionar ninguno de los tres colores a la vez (es decir, no hay pelotas a todos). Así que eso es lo que el $-1$ es de alrededor de.

$$(10+1)(9+1)(7+1)-1$$

Answer 2

Tu pregunta es similar a encontrar el número de divisores de un número de la bola de forma $$\color{blue}{a^{10}b^9c^7}$$ other than $\color{red}{1}$, where $a,b,c$ are primes. Because $1$ only appears in that case when none of white, green or black balls are selected (i.e. none of $a,b$ and $c$ is included into the factors), which is prohibited; you have to choose at least $1$.

Así, por supuesto, esto puede hacerse de maneras de $ $$(10+1)(9+1)(7+1)-\color{red}{1}$.