Un punto importante es que un "polo" es en realidad la misma cosa como una singularidad removible, si pensamos en nuestra función como un mapa que toma valores en la esfera de Riemann (que es el plano complejo con un punto en $\infty$ agregado; de la compleja estructura cerca de $\infty$ viene desde el mapa de $z\mapsto 1/z$).
Así, una función que tiene una singularidad removible o un polo en $z_0$ no tiene un "real" singularidad que hay en absoluto; más bien, podemos extender esta función a una analítica o de meromorphic de la función en $z_0$. Si no podemos ampliar la función de este modo, la singularidad es, de hecho, "esencial"; es decir, no podemos deshacernos de él. Así, la terminología no es uno que se utiliza simplemente por comodidad o pedagógico; más bien, es muy natural.
Como ya se ha mencionado, la magia de los números complejos los resultados en muchos hermosos hechos acerca de las singularidades esenciales: funciones con estas singularidades están muy lejos de ampliar continuamente.
El más simple de estos hechos es el Casorati-Weierstraß Teorema: La imagen de un barrio de una singularidad esencial es denso en el plano complejo.
Esto es sólo una consecuencia de los extraíbles de singularidades teorema. (Si $f$ omitido un barrio de $a$, podríamos postcompose $f$, con una transformación de Möbius que tarda $a$ hasta el infinito y ver que el resultado de la función tiene una singularidad removible.)
El más conocido el resultado de este tipo es del teorema de Picard, que ya fue mencionada.
Hay varias hermosas reforzamientos de Picard del teorema que surgen de la teoría de Nevanlinna, y Ahlfors la teoría de las superficies de la cubierta.
Así que todas las singularidades esenciales tienen algunas cosas en común, pero por otro lado esto no nos debe llevar a creer que todos son iguales. Lo que tienen en común es complicado comportamiento, pero puede ser complicado de maneras muy diferentes! De hecho, las distintas trascendental de toda funciones (aquellas que tienen una singularidad esencial en el infinito; es decir, no son polinomios) puede variar mucho con respecto a su comportamiento cerca de infinito. Así por ejemplo, para algunas funciones, tales como $z\mapsto e^z$, existen curvas tiende a infinito en el que la función está acotada, mientras que para otros, este no es el caso.
