Un operador idempotente es compacto si y solamente si es de rango finito

Question

Ayudarme a solucionar este problema. Mostrar que un operador idempotente en el espacio de hilbert es compacto si y sólo si tiene finita fila.

Answer 1

Bien. Si usted requiere de una respuesta que utiliza la secuencia de definición de un operador compacto, aquí va. :)

Una finito de rango operador es claramente compacto, por lo que una dirección establecida.

Ahora, un operador $ T: \mathcal{H} \rightarrow \mathcal{H} $ es compacto si y sólo si los mapas de cada secuencia delimitada en $ \mathcal{H} $ a una secuencia en $ \mathcal{H} $ que contiene un convergentes larga. Esta es la base secuencial caracterización de los operadores compactos.

Deje $ T: \mathcal{H} \rightarrow \mathcal{H} $ ser un idempotente y compacta de operador. Queremos demostrar que es un finito-rango del operador. Por medio de la contradicción, supongamos que no es finito-rank. Deje $ R(T) $ denotar el infinito-dimensional de la gama del espacio de $ T $. Pretendemos que $ R(T) $ es un subespacio cerrado de $ \mathcal{H} $. Para probar esta afirmación, vamos a $ (T(\mathbf{x}_{n}))_{n \in \mathbb{N}} $ ser una secuencia en $ R(T) $ que converge a algunos $ \mathbf{y} \in \mathcal{H} $. Entonces $$ T(\mathbf{y}) = T \left( \lim_{n \rightarrow \infty} T(\mathbf{x}_{n}) \right) = \lim_{n \rightarrow \infty} T(T(\mathbf{x}_{n})) = \lim_{n \rightarrow \infty} T(\mathbf{x}_{n}) = \mathbf{y}. $$ Por lo tanto, $ \mathbf{y} \in R(T) $, y como $ (\mathbf{x}_{n})_{n \in \mathbb{N}} $ es arbitrario, hemos terminado.

Como $ R(T) $ es visto ahora como un sistema cerrado (por lo tanto completa) el subespacio de $ \mathcal{H} $, se deduce que el $ R(T) $ es un subespacio de Hilbert $ \mathcal{H} $. Por el infinito-dimensionalidad de $ R(T) $, escoja una de ortonormales secuencia de vectores $ (\mathbf{e}_{n})_{n \in \mathbb{N}} $ $ R(T) $ (podemos hacerlo mediante la extracción de una ortonormales secuencia de algunos infinito ortonormales base para $ R(T) $). Por construcción, $ \mathbf{e}_{n} \in R(T) $ por cada $ n \in \mathbb{N} $, por lo que podemos asociar a una $ \mathbf{v}_{n} \in \mathcal{H} $ tal que $ T(\mathbf{v}_{n}) = \mathbf{e}_{n} $. Entonces $$ \forall n \in \mathbb{N}: \quad T(\mathbf{e}_{n}) = T(T(\mathbf{v}_{n})) = T(\mathbf{v}_{n}) = \mathbf{e}_{n}. $$ Por lo tanto, $ T $ mapas de la secuencia de $ (\mathbf{e}_{n})_{n \in \mathbb{N}} $ idéntica a sí misma. Esta secuencia está claramente delimitado. Sin embargo, $ (T(\mathbf{e}_{n}))_{n \in \mathbb{N}} = (\mathbf{e}_{n})_{n \in \mathbb{N}} $ no contiene convergente larga! (Observar simplemente que $ \| \mathbf{e}_{m} - \mathbf{e}_{n} \|_{\mathcal{H}} = \sqrt{2} $ diferentes $ m,n \in \mathbb{N} $.) De ello se deduce a partir de la secuencia de definición de compacidad que $ T $ no es compacto, lo que contradice el hecho de que empezamos nuestra discusión con $ T $ ser compacto.

Conclusión $ T $ debe ser finito en el rango del operador.

Me di cuenta de que la gente ha estado haciendo preguntas acerca de los ejercicios del capítulo sobre compacta operadores en Conway es Un Curso en el Análisis Funcional. Para el beneficio de la cooperativa y también de otras personas que están interesadas en los ejercicios, en el siguiente enlace puede ser útil: operador Compacto. Contiene la solución completa a otro ejercicio del mismo capítulo.

Answer 2

Si $P$ rango finito, entonces es compacto.

Si $P$ es compacto, entonces su espectro consiste solamente en valores propios, con $0$ como punto de acumulación sólo posible. El % de igualdad $P^2=P$implica que los únicos valores propios $0$ y $1$. Ahora toma cualquier $x$ en el rango de $P$; entonces $$ Px = x, $$ $x$ es un vector propio con el valor propio $1$. La multiplicidad de $1$ ha de ser finito, como lo contrario $P$ no es compacto. Por lo tanto el rango de $P$ es finito-dimensional.

Answer 3

Deje $ T \in B(\mathcal{H}) $ ser idempotente.

Si $ T $ es de rango finito, entonces es claramente compacto, por lo que una dirección es probada.

Por el contrario, supongamos que $ T $ es compacto. Por medio de la contradicción, supongamos que $ T $ tiene infinito valor. A continuación, $ T $ actúa como la identidad del operador en su infinito-dimensional de la gama del espacio de $ R(T) $. Dejando $ \mathbb{B}_{R(T)} $ denotar al abrir la unidad de la bola de $ R(T) $, podemos ver que $ T $ mapas de $ \mathbb{B}_{R(T)} $ idéntica a sí misma. Sin embargo, como $ \mathbb{B}_{R(T)} $ no es relativamente compacto en $ \mathcal{H} $ (es decir, $ {\text{cl}_{\mathcal{H}}}(\mathbb{B}_{R(T)}) $ no es compacto; ver más abajo), esto se contradice con la compacidad de $ T $. Por lo tanto, $ T $ debe tener rango finito.

Notas

Como se ha mencionado, $ {\text{cl}_{\mathcal{H}}}(\mathbb{B}_{R(T)}) $ no es compacto. Si fuera compacto, entonces como $ R(T) $ es un subespacio cerrado de $ \mathcal{H} $ (esto se deduce de la idempotence de $ T $) y $ {\text{cl}_{R(T)}}(\mathbb{B}_{R(T)}) = {\text{cl}_{\mathcal{H}}}(\mathbb{B}_{R(T)}) \cap R(T) $, se seguiría que $ {\text{cl}_{R(T)}}(\mathbb{B}_{R(T)}) $ es compacto. Sin embargo, esto se contradice con Riesz del Lexema, lo que implica que la unidad cerrada la pelota en cualquier de dimensiones infinitas normativa espacio no es compacto.

Answer 4

Sea $P$ idempotente en un espacio de Hilbert $H$. Poner $R(x) = x - P(x)$; entonces $$R(R(x)) = R (x - P(x)) = r (x) - R(P(x)) = x - p (x) - (p-P(P(x)) (x) = x P(P(x)) - p (x) - p (x) = x - p (x). $$

De esto vemos que el $H = \ker(P) + \ker(I - P)).$ $H$ hemos representado como la suma directa de dos subespacios cerrados. Si $P$ es compacto, su gama es un espacio de Banach localmente compacto, por lo que la gama es finita dimensional.