Condición más débil que la diferenciabilidad que implica continuidad

Question

Es bien sabido que la diferenciabilidad implica continuidad. Mi pregunta es la siguiente: ¿existe alguna condición para una función que sea a la vez más débil que la diferenciabilidad y más fuerte que la continuidad? Es decir, ¿existe alguna condición que "garantice" la continuidad que no garantice también la diferenciabilidad?

Edita: Inmediatamente después de publicar esto me di cuenta de que no había reflexionado lo suficiente al plantear esta pregunta. La pregunta que quería hacer (que, creo, es más interesante) es la siguiente aquí .

Answer 1

Hay varios, al menos en un intervalo acotado, tienes

Diferenciabilidad $\Rightarrow$ Continuidad Lipschitz $\Rightarrow$ Continuidad de Hölder (con exponente decreciente) $\Rightarrow$ Continuidad absoluta $\Rightarrow$ continuidad

que son algunos de los que se utilizan con más frecuencia.

Answer 2

Una función $f$ se llama Lipschitz continua si existe una constante (uniforme) $K$ tal que

$$|f(x) - f(y)| \le K |x - y|$$

para todos $x, y$ en el ámbito de $f$ (alternativamente, se puede definir que una función es localmente Lipschitz si para cada subconjunto compacto del dominio existe tal constante). La continuidad Lipschitz implica continuidad (y de hecho uniforme continuidad), pero no implica diferenciabilidad - como ejemplo un poco trivial, $|x|$ es Lipschitz pero no diferenciable en $0$ . Sin embargo, ser Lipschitz implica diferenciabilidad en casi todas partes (y de hecho, $f' \in L^{\infty}$ ).

Otra posibilidad es continuidad absoluta lo que de nuevo implica diferenciabilidad sólo en casi todas partes.

Answer 3

Claro, hay Continuidad Lipschitz .

Answer 4

En primer lugar, Continuidad del titular . Véase aquí .