Intersección de ideales primos

Question

Este es un problema de un libro de texto de álgebra.

Dejemos que $R$ sea un anillo, y $I$ ser un ideal. Si el radical de $I$ es $I$ mismo, es decir $\operatorname{rad}(I) = I$ entonces $I$ es una intersección de ideales primos.

Answer 1

Este es mi intento. Si no quieres una solución real entonces no leas esto. Por favor, corrígeme si he cometido algún error. Estoy usando la definición $\mbox{rad}(I) = \{ r \in R \,|\,\,\, r^k \in I \text{ for some } k \in \mathbb N \}$ .

Dejemos que $P$ sea un ideal primo que contenga $I$ . Si $r \in R$ es tal que $r^k \in I$ entonces $r^k \in P$ Así que $r \in P$ desde $P$ es primo. Así, $\mbox{rad}(I) \subset \bigcap_{P \supset I} P$ .

Por el contrario, si $r \notin \mbox{rad}(I)$ entonces $r^k \notin I$ para cualquier $k$ Así que $S = \{1, r, r^2, \ldots \}$ es un conjunto cerrado multiplicativo disjunto de $I$ . Por un teorema básico sobre los ideales primos, tenemos que $R \smallsetminus S$ contiene un ideal primo $P_r$ que contiene I. Ya que $r \notin P_r$ tenemos $r \notin \bigcap_{P \supset I} P$ . Por lo tanto, $\mbox{rad}(I) = \bigcap_{P \supset I} P$ .

El problema planteado es el caso especial en el que $I = \mbox{rad}(I)$ .

Answer 2

Pista: Demuestre que el radical del ideal cero (el nilradical) es la intersección de todos los ideales primos de $R.$ A continuación, aplique esto a $R/I$ y utilizar el cuarto teorema del isomorfismo para obtener el resultado deseado.