¿Por qué el extra término $\frac{1}{2}(\partial_{\rho}A^{\rho})^2$ en el fotón Lagrange?

Question

En mi clase de teoría de campos cuántica nos ha dicho a utilizar este Lagrangiano para el campo del fotón

$$ \mathcal{L}=-\frac{1}{4}F_{\alpha\beta}F^{\alpha\beta}-\frac {1} {2} (\partial_ {\rho} A ^ {\rho}) ^ 2. $$

pero las razones se han mantenido bastante oscuras. ¿Por qué hacemos esto? ¿Nosotros no seguimos con el buen viejo Maxwell Lagrangiano? ¿Este término adicional no cambia las cosas? y si no (como supongo lo es) ¿por qué no?

Answer 1

El plazo adicional, en general

$$\mathcal{L}=-\frac{1}{4}F_{\alpha\beta}F^{\alpha\beta}-\frac{1}{2 \xi}(\partial_{\rho}A^{\rho})^2 $$

se llama medidor de fijación de plazo. Este término es necesario con el fin de ser capaz de cuantizar el campo $A_\mu$. Sin este plazo adicional, el propagador de fotones está bien definida

$$D^{\mu\nu}={-i\over k^2+i0}\left(g^{\mu\nu}\,+\,(\xi-1){k^\mu k^\nu\over k^2+i0}\right)$$ for $\xi\rightarrow \infty$, lo que corresponde a los que trabajan en la central unitaria de calibre, es decir, el Lagrangiano sin que el plazo adicional.

Además, la canónica colector de relaciones no podrían ser cumplidos, porque $\Pi_0=0$, si utilizamos el Lagrangiano sin que el plazo adicional. Si quieres leer sobre estas cuestiones a tener una mirada en el Gupta-Bleuler procedimiento. Un enfoque alternativo sería arreglar el medidor primera y la cuantización. Sin embargo, una covariante de cuantización de procedimiento, como la Gupte-Bleuler formalismo es el preferido.

Answer 2

El Lagrangiano siempre es de Maxwell de Lagrange, complementado por un indicador de fijación de plazo:

$$\mathcal{L}=-\frac{1}{4}F_{\mu\nu}F^{\mu\nu} - \frac{1}{2}(\partial_\mu A^\mu)^2$$

Las ecuaciones de movimiento son,

$$\partial_\mu F^{\mu\nu} + \partial^\nu (\partial_\mu A^\mu) = \partial_\mu \partial^\mu A^\nu = 0$$

En lugar de hacer un medidor procedimiento de fijación a posteriori, un término que se añade a la de Lagrange, de modo que el medidor de fijación de la condición surge de forma natural a partir de las ecuaciones de movimiento. La razón por la que estamos en libertad para imponer tal condición por el calibre de simetría en virtud de una transformación,

$$A_\mu \to A'_\mu=A_\mu + \partial_\mu \epsilon(x)$$

para una función arbitraria $\epsilon(x)$. Si decidimos de identidad $A_\mu$$A'_\mu$, luego siempre podemos tomar un 4-potencial y satisfacer $\partial_\mu A^\mu = 0$ (Lorenz calibre) la prestación de resolver,

$$-\partial_\mu \partial^\mu\epsilon(x)=\underbrace{\partial_\mu A^\mu}_{\mathrm{original \, \, potential}}$$

para el adecuado $\epsilon(x)$. Cuando cuantización de electromagnetismo, uno va a encontrar la conmutación relación,

$$[a^\lambda_p,a^{\lambda' \dagger}_q] = -\eta^{\lambda \lambda'}(2\pi)^3 \delta^{(3)}(p-q)$$

para la creación y aniquilación de los operadores. Esto es preocupante porque significa para timelike estados de polarización con $\lambda = 0$, los estados negativos de la norma, es decir,

$$\langle p,0 | q, 0 \rangle = -(2\pi)^3\delta^{(3)}(p-q) < 0$$

Para resolver el problema, exigimos que los estados físicos $|\Psi \rangle$ satisfacer una adaptación de la de Lorenz calibre condición debido a Gupta y Bleuler, es decir,

$$\partial^\mu A^{+}_{\mu} |\Psi\rangle = 0$$

donde $A^+$ es el descompuestos campo, que contiene sólo la expansión de la $a$ plazo, en lugar de $a^\dagger$ plazo.