¿Por qué adoptamos el axioma de inducción para los números naturales (aritmética de Peano)?

Question

Más concretamente, cuando definimos el conjunto de los números naturales $\mathbb{N}$ utilizando los axiomas de Peano, suponemos lo siguiente:

1. $0\in\mathbb{N}$
2. $\forall n\in\mathbb{N} (S(n)\in\mathbb{N})$
3. $\forall n\in\mathbb{N}(0\neq S(n))$
4. $\forall m,n (m\neq n\to S(m)\neq S(n))$
5. Si $P(n)$ denota el hecho de que $n$ tiene propiedad $P$ entonces $\Big(P(0)\wedge \forall n\in\mathbb{N}\big(P(n)\to P(S(n))\big)\Big)\implies \forall n\in \mathbb{N} (P(n))$

Entiendo que usando estos axiomas podemos deducir todo sobre los números naturales, pero también creo que es útil saber por qué se eligieron los axiomas de la manera que son. Así que mi pregunta es por qué elegimos aceptar el axioma de inducción ((5.) anterior), lo que en cierto modo hace que esto sea más una pregunta metamatemática.

Por ejemplo, en el Análisis I de Tao, se dice que el axioma de inducción impide que entren en el conjunto elementos no deseados (como los semienteros).

Wikipedia dice: "Los axiomas [1], [2], [3] y [4] implican que el conjunto de los números naturales es infinito, porque contiene al menos el subconjunto infinito $\{ 0, S(0), S(S(0)), \ldots \}$ cada uno de cuyos elementos difiere del resto. Demostrar que todo número natural está incluido en este conjunto requiere un axioma adicional, que a veces se denomina axioma de inducción. Este axioma proporciona un método para razonar sobre el conjunto de todos los números naturales."---Pero esto me parece tautológico: $\mathbb{N}$ se define como el conjunto de los números naturales por lo que " $n$ es un número natural" significa " $n\in\mathbb{N}$ "¿verdad? Entonces, ¿no está todo número natural incluido en $\mathbb{N}$ ¿por definición?

Supongamos que queremos mostrar $\mathbb{N}=\{0,1,2,3,\ldots\}$ utilizando los cinco axiomas de Peano.

Si dejamos que $P(n)$ denotan $n\in\{0,1,2,3,\ldots\}$ entonces $P(0)$ es cierto. Supongamos que $n$ está en $\{0,1,2,3,\ldots\}$ . Entonces (informalmente) los puntos indican que $S(n)$ está en $\{0,1,2,3,\ldots\}$ . Así que $\mathbb{N}\subseteq\{0,1,2,3,\ldots\}$ es decir, nuestro conjunto definido no contiene elementos "extra" (como en el Análisis I de Tao).

Sin embargo, todavía no veo cómo mostrar $\{0,1,2,3,\ldots\}\subseteq\mathbb{N}$ (para completar la "prueba" de que $\mathbb{N}=\{0,1,2,3,\ldots\}$ ) sin suponerlo. (Creo que esto es lo que hacía el artículo de Wikipedia).

Gracias de antemano por cualquier ayuda y pido disculpas si este tipo de pregunta no es adecuada para este sitio.

Answer 1

Estás intentando deducir algo sobre la importancia del 5º axioma sólo a partir del propio axioma, lo cual es imposible. Los axiomas por sí mismos no tienen ninguna importancia. Lo que es importante es que el conjunto definido por los axiomas sea (a) único y (b) isomorfo a algún objeto del mundo real (números naturales del mundo real, como en "dos manzanas" y "tres naranjas").

Regalar el quinto axioma significa que:

a) Los axiomas de Peano ya no defina un conjunto de números naturales, ya que podría haber dos conjuntos no isomorfos (e incluso no de la misma cardinalidad), ambos compatibles con los axiomas de Peano; más bien definen una clase de conjuntos, cada uno de los cuales contiene un subconjunto, isomorfo a $\{0, 1, 2, 3, \ldots\}$ . Por ejemplo, consideremos el conjunto $\mathbb N$ en su sentido habitual, y el conjunto $\mathbb C \setminus {\mathbb N}^+$ . Ambos conjuntos cumplen los axiomas de Peano (excepto el quinto), pero son bastante diferentes en sí mismos.

b) Por supuesto, el segundo conjunto del párrafo anterior no tiene nada en común con un objeto del mundo=real llamado "los números naturales".

Answer 2

Como se indicaba en la pregunta, el conjunto $\mathbb{N}$ que estamos tratando de especificar es infinito porque sabemos $T \subseteq \mathbb{N}$ para el conjunto infinito $T=\{ 0, S(0), S(S(0)), \ldots \}.$ Reformularé su pregunta de la siguiente manera

¿Cómo demostramos que de hecho $\mathbb{N}=\{ 0, S(0), S(S(0)), \ldots \}?$

Bueno tenemos que decir que, no se sigue de los cuatro primeros axiomas porque podríamos utilizar $\mathbb{Q}$ en lugar de $\mathbb{N}$ y que $S(q)=q+1$ y hasta ahora todo funciona bien.

Así que podríamos decir que " una vez que $0,S(0),S(S(0)),S(S(S(0))),$ etc. ¡eso es todo!" Eso es más o menos lo que dice el axioma 5.

Hay algunos detalles técnicos, pero no son directamente relevantes para la razón por la que queremos el axioma 5. Un detalle es, ¿cómo especificamos exactamente lo que queremos decir con el etc. ? La forma técnica del axioma 5 maneja que, Decimos que cualquier conjunto $A$ con $0 \in A$ y $S(n) \in A$ siempre que $n \in A$ tiene todos $\mathbb{N} \subseteq A.$ Es decir $\mathbb{N} \subseteq T.$

Otro detalle es que queremos demostrar cosas sobre $\mathbb{N}$ y el axioma 5 nos da la prueba por inducción.

Answer 3

Nota: Todavía estoy aprendiendo sobre los axiomas de Peano, así que si alguna parte de mi respuesta es inexacta, por favor hágamelo saber.

En primer lugar, ¿por qué nos molestamos en pensar en los números naturales? Los números naturales son "naturales" en el sentido de que representan cómo contamos los objetos de la vida real. Evidentemente, el conjunto de los números naturales no es un conjunto ordinario, por lo que podríamos decir que $\mathbb{N}$ es un "conjunto con estructura", donde la "estructura" encierra todas las propiedades únicas que hacen especiales a los números naturales.

Piense en los Axiomas de Peano como un medio de formular esta "estructura". Cualquier conjunto que obedezca a esta "estructura" debería ser o bien los números naturales, o bien un conjunto isomorfo a los números naturales. Por lo tanto, no tiene mucho sentido intentar demostrar que $\{0, 1, 2, 3, \dots\} \subseteq \mathbb{N}$ (como hace en su respuesta); en su lugar, debería intentar demostrar que el conjunto $\mathbb{N} = \{0, 1, 2, 3, \dots \}$ emparejado con la función sucesora canónica obedece a los axiomas de Peano y, por tanto, representa los números naturales.

Si se ven los axiomas de este modo, la pregunta puede reformularse como: "¿Por qué los cuatro primeros axiomas de Peano son insuficientes para definir la "estructura" de la ciencia? $\mathbb{N}$ ?" Un simple contraejemplo basta para responder a esto, lo que los medios enteros de Tao hacen maravillosamente. Tao define los medios enteros como

$$\mathbb{N} := \{0, 0.5, 1, 1.5, 2, 2.5, 3, 3.5, \dots\}.$$

y su función sucesora $S$ ser

$$ S : \mathbb{N} \to \mathbb{N} \\ S(n) = n + 1 $$

donde $+$ es el operador estándar de suma real. No es difícil comprobar que esto obedece a los cuatro primeros axiomas de Peano. Pero este conjunto no son los números naturales, ¡ni es isomorfo a ellos! Por tanto, añadimos un quinto axioma, que (en lenguaje llano) afirma que "Todos los números naturales son algún sucesor eventual de $0$ ."

Answer 4

Informalmente, $\{0,1,2,3,\ldots\}\subseteq\mathbb{N}$ proviene de los axiomas primero y segundo.

Por supuesto, habría que definir qué $\{0,1,2,3,\ldots\}$ es. Tal vez escribirlo $\{0,S(0),S(S(0)),S(S(S(0))),\ldots\}$ lo hace más claro. Entonces puedes tomar un miembro particular de este conjunto y usar los axiomas primero y segundo para demostrar que está en $\mathbb{N}$ .

Answer 5

La forma de demostrar algunas teorías por indcución es muy importante y técnica sin ella las matemáticas no serían lo mismo por lo que se añadió para formalizar nuestra intuición. Por lo que sé, me sorprendió que este axioma no fuera consecuencia del resto de los axiomas, sino que fuera necesario explicitarlo.