Representación de grupoides

Question

El título es vaga, a mi en realidad la pregunta es la siguiente:

Tiene la representación de groupoids sido estudiado de forma sistemática? ¿Hay algún nuevo fenómeno, comparar con la representación de los grupos? (Cualquiera de las cosas nuevas o trampas para aquellos que demasiado familiarizado con las representaciones de los grupos). ¿Este punto de vista simplificado cualquier prueba de teoremas en representación de los grupos?

He estado sólo pensar en esto durante 15 minutos. Pero me siento como que podría ser útil pensar en la representación de groupoids por las siguientes razones:

1. Cuando uno habla acerca de los sistemas locales, pensar en él como "representación de la fundamental groupoid" parece más natural que hablar de "representación del grupo fundamental".

2. Cuando hablamos de los módulos en las pilas, si optamos por una presentación de la pila (que es un groupoid), podemos tratar de un módulo dado, como una representación de la groupoid? (Como los módulos de BG da las representaciones de G.) Estudiar cuando dos representaciones de dar el "mismo" módulo va a ser interesante.

Answer 1

Una representación de cualquier categórica objeto (por ejemplo, "groupoid" = "1-categoría con sólo isomoprhisms") es simplemente una (agradable) functor de ese objeto a la categoría de Espacios Vectoriales. Entonces, como Chris puntos, la representación abstracta de la teoría de groupoids esencialmente se reduce a la teoría de representaciones de grupos.

La historia se vuelve mucho más rica en la Mentira de la categoría, porque entonces usted debe pedir a la representación para ser suave. La historia no ha sido contada, y que incluso las partes que se han dicho no sé bien. Para una insinuación de que el comportamiento interesante, ver http://front.math.ucdavis.edu/0810.0066. No sé nada acerca de la expresión algebraica de la categoría, pero creo que hay cosas interesantes allí también (como lo que yo puedo decir, algebraicas pilas son más complicadas que las lisas).

Esperemos que alguien que conoce la literatura más de lo que puedo decir más.

Answer 2

El "clásico" de la definición de una representación de una Mentira groupoid es bastante similar a la de una Mentira grupo. Para una Mentira grupo de representación, comienza con un espacio vectorial $V$ y definir una representación para un suave homomorphism $G \to Gl(V)$. Dada una Mentira groupOID $G \rightrightarrows M$, para formar un (clásica) representación de $G$, usted necesita para comenzar no con un espacio vectorial $V$, pero con un vector PAQUETE de $V \to M$. Luego, a partir de $V$ usted puede construir una Mentira groupoid $Gl(V) \rightrightarrows M$ (las flechas son lineales isomorphisms entre las fibras de V). Una representación de $G$ es simplemente una Mentira groupoid homomorphism $G \to Gl(V)$.

Cabe señalar que esta noción de representación es de alguna manera "muy estricta". Giorgio Trentinaglia sostiene que uno debería, en lugar de reemplazar suave vector de paquetes con objetos más generales, a la que él llama "suave Euclidiana campos". En esta configuración, se muestra una versión de Tannaka dualidad para la correcta Mentira groupoids. Usted puede leer acerca de esto en su artículo:

Tannaka dualidad para la correcta Mentira groupoids, Revista de la Pura y Aplicada Álgebra.

También hay un arxiv versión de este.

Aún más, aquí hay un enlace a su tesis de que debe proporcionar aún más detalle:

http://igitur-archive.library.uu.nl/dissertations/2008-0904-200909/trentinaglia.pdf

Answer 3

Cada groupoid es equivalente a una Unión separada de los grupos. De hecho, la inclusión de la sub-2-categoría de sindicatos separados de los grupos en los grupoides es una equivalencia. Por lo tanto la teoría de la representación de grupoides reduce a la de grupos.

Answer 4

La gente en operador de teoría estudio mucho en esto. Mira Jean Renault Springer notas de la conferencia en groupoid C*-álgebras o el libro de Alan Paterson: Groupoids, Inversa Semigroups y sus álgebras de operadores. Aquí se utiliza Hilbert haces para definir las representaciones.

Creo que en el caso finito que groupoids dar un agradable tomar inducida por las representaciones. Si usted tiene un subgrupo H de un grupo G, entonces G tiene una cubierta groupoid correspondiente a H. es la categoría de los elementos para la acción de G en G/H. La cubierta groupoid es, naturalmente, equivalente a H y por lo tanto tiene la misma teoría de la representación como H. Ahora la categoría de representaciones de la cubierta groupoid es el módulo de la categoría de la categoría correspondiente álgebra, ya que hay un número finito de vértices. Hay un homomorphism de G en esta categoría álgebra que envía un elemento de g a la suma de sus preimages bajo la cobertura de morfismos. Es fácil ver que si usted comienza con una representación de H, tomar la correspondiente representación de la cubierta groupoid, que la convierten en la representación de la categoría de álgebra de la groupoid y componer con la homomorphism de G, se obtiene la inducida por la representación.

Answer 5

Groupoïds no agregar mucho en la teoría, sino que hacen algunas de las declaraciones más simples y que son necesarios a veces para conseguir algo de intuición.

Un ejemplo típico es el teorema de Van Kampen. Para decirlo en términos de fundamental groupes $\pi_1(X,x)$ debes elegir un punto de base para cada componente conectado. En términos de fundamental groupoïds, sin embargo, de primaria: $\Pi_1(X\cup_Z Y) = \Pi_1(X) *_{\Pi_1(Z)} \Pi_1(Y) $.

La razón de la habitual afirmación de que el teorema es equivalente a esto es que cualquier groupoïd es equivalente a un distinto de la suma de los grupos. Pero equivalente no significa igualdad; isomorfo no significa canonicaly isomorfo. Una declaración acerca de groupoïds se traducen en una declaración acerca de los grupos hasta conjugacy y este tipo de sutileza puede ser muy complicado (y/o interesantes) en la práctica.

Deligne la teoría de la motivic unipotentes grupo fundamental "Le groupe fondamental de la droite proyectiva menos tres puntos", da una gran ilustración de este hecho. Se da una thoery de groupoïds y sus represenations en fibrado categorías. También muestra que, incluso en la escuela primaria, el caso de$P^1- \{ 0,1,\infty \}$, usted tiene que trabajar con los groupoïds para realmente entender la aritmética de los aspectos fundamentales de los grupos.