El grupo de cohomología de una gavilla (flácida) Petaca acero inoxidable

Question

Esta es la Proposición 2.5 en la página 208 de Hartshone de la Geometría Algebraica:

Si $\mathcal F$ es un flasque gavilla en un espacio topológico $X$, $H^i(X, \mathcal F) = 0$ todos los $i>0$.

La prueba considera esta secuencia exacta $0 \rightarrow \mathcal F \rightarrow \mathcal J \rightarrow \mathcal G \rightarrow 0$, en el que $\mathcal J$ es un inyectiva gavilla que contengan $\mathcal F$, e $\mathcal G$ es el cociente de la gavilla. Como $\mathcal F$ $\mathcal J$ son flasque, por lo que es $\mathcal G$.

Ahora desde $\mathcal F$ es flasque, tenemos una secuencia exacta $0 \rightarrow \Gamma(X, \mathcal F) \rightarrow \Gamma(X, \mathcal J) \rightarrow \Gamma(X, \mathcal G) \rightarrow 0$. Por otro lado, desde la $\mathcal J$ es inyectiva, tenemos $H^i(X, \mathcal J) =0$$i>0$. Por tanto, desde el largo de la secuencia exacta de cohomology, obtenemos $H^1(X, \mathcal F) =0$ $H^i(X, \mathcal F) \cong H^{i-1}(X, \mathcal G)$ por cada $i \geq 2$. Pero $\mathcal G$ es también flasque, así que por inducción en $i$ obtenemos el resultado.

Lo que yo no entiendo es por qué podemos hablar de la cohomology grupo de $\mathcal F$ en la secuencia exacta $0 \rightarrow \mathcal F \rightarrow \mathcal J \rightarrow \mathcal G \rightarrow 0$. Por definición, el cohomology functor $H^i(X,-)$ es el derecho derivado functor de $\Gamma(X,-)$. Así que creo $H^i (X, \mathcal F)$ está relacionado con el inyectiva resolución de $\mathcal F$. Pero, en la secuencia de arriba, es $\mathcal G$ inyectiva? Si es así, ¿por qué? Si no, ¿por qué es la prueba válida?

Gracias a todo el mundo.

Answer 1

El hecho general es, dada una izquierda functor exacto $F:A \rightarrow B$ donde $A$ $B$ son abelian categorías y $A$ tiene suficiente injectives (es decir, cada objeto de $A$ admite una incrustación en un inyectiva objeto), cada corto secuencia exacta de los objetos de $A$ da lugar a una larga secuencia exacta que implican la derivada de functors de $F$ (estos existen porque $A$ tiene suficiente inyectiva objetos de definir). En su caso, con $A$, equivalente a la categoría de poleas en $X$, $B$ igual a la categoría de abelian grupos, y $F=\Gamma$ igual a la global secciones functor, cada corto secuencia exacta $0 \rightarrow S \rightarrow T \rightarrow U \rightarrow 0$ de las poleas da lugar a una larga secuencia exacta $$\cdots \rightarrow H^{i-1}(U) \rightarrow H^i(S) \rightarrow H^i(T) \rightarrow H^i(U) \rightarrow \cdots $$ de cohomology grupos.

No hay ningún requisito de que los objetos en el SES ser inyectiva, si bien es cierto que el cálculo de la derivada de functors requiere, a priori, un inyectiva resolución: dada una inyectiva resolución $$ 0 \rightarrow S \rightarrow I_0 \rightarrow I_1 \rightarrow \cdots$$ one obtains $H^i(S)=H^i(\Gamma(I_\bullet))$.

Answer 2

Esto es un poco de un viejo de la cadena, pero aquí un adicional de respuesta. Lo que a menudo es muy útil (porque injectives son buenas las construcciones teóricas, pero difícil en la práctica situaciones, es que se puede utilizar cualquier resolución por acíclicos objeto para calcular cohomology.

Es decir, si usted tiene una resolución de $0\rightarrow\mathcal{F}\rightarrow\mathcal{A}^{\cdot}$, donde, para cada k,

$H^{i}(\mathcal{A}^{k})=0$ todos los $i>0$ (este es el acíclicos parte),

a continuación, el cohomology de $\mathcal{F}$ está dado por la compleja $0\rightarrow H^{0}(\mathcal{A}^{0})\rightarrow H^{0}(\mathcal{A}^{1})\rightarrow\cdot\cdot\cdot$

Así que, dependiendo de donde usted está trabajando, usted puede utilizar multa de poleas (en suave colectores) o flasque (flácido) poleas (en variedades o esquemas), etc.