Las raíces del derivado $P'(z)$ % polinomio $P(z)\in\mathbb C[x]$encuentran en el casco convexo del sistema de raíces de $P(z)$.

Question

Asumir $S=\{z_1,z_2,...,z_k\}, z_i\in \mathbb C$$, C(S)$ y $$C(S):=\{z=a_1z_1+a_2z_2+...+a_kz_k | a_i\ge0 ,a_1+a_2+...+a_k=1\}$$ where $$A:=\{z\in \mathbb C:f(z)=0 \},~~~\text{and}~~~A':=\{z\in \mathbb C:f'(z)=0\}$$ such that $f$ is polynomial ($f\in P [\mathbb C]$) and $\deg (f) \ge2$.

Cómo probar que $$ C(A')\subset C(A)$ $ gracias de antemano!

Answer 1

Este es el de Gauss–Lucas y teorema se puede encontrar una prueba aquí. Se dice que las raíces de la derivada $P'(z)$ del polinomio $P(z)\in\mathbb C[x]$ encuentran en el casco convexo de un conjunto de raíces de $P(z)$.

En el caso de $\deg P=3$ hay un fuerte resultado ( alguien podría decir que el más maravilloso teorema) llamado Marden's teorema, pero en realidad es Jörg Siebeck( ver esta). El teorema es la siguiente:

Deje $z_1,z_2,z_3$ ser las raíces del polinomio $P(z)$ (suponga que no son lineales) y $T$ el triángulo con vértices $z_1,z_2,z_3$. El de Gauss–Lucas teorema dice que las raíces de $P'(z)$, decir $\alpha_1,\alpha_2$, se encuentran en el $T$. Deje $E$ ser la elipse inscrita en $T$ y tangente a los lados de $T$ en sus puntos medios. Marden del teorema dice que $\alpha_1,\alpha_2$ son los focos de $E$.

Fue nombrado Marden del teorema por Dan Kalman porque leyó por primera vez el teorema de Marden el maravilloso libro de Geometría de Polinomios. Para más información sobre la historia y una prueba de este teorema ver este y este.

Answer 2

Edit: después de Arkamis comentario, voy a estrés que $C(S)$ es un objeto natural llamado el casco convexo de $S$. En el caso real, esta rendimientos de los segmentos y el resultado sigue, por tanto, del teorema de Rolle.

Usted tiene que demostrar que las raíces de $f'$ están en el casco convexo de las raíces de la $f$. A continuación, $C(f')$ será automáticamente incluida en $C(f)$.

Deje $f(z)$ ser un grado $n$ polinomio con posiblemente repetidos de raíces $(z_1,\ldots,z_n)$. Tenemos la fracción parcial de la descomposición: $$ \frac{f'(z)}{f(z)}=\sum_{j=1}^n\frac{1}{z-z_j}. $$ Elija cualquier raíz de $z$$f'$. Si $z$ es una raíz de $f$, no hay nada que demostrar. Si no, el lado izquierdo de arriba es $0$ y el lado derecho es bien definido.

Ahora tienen que manipular esta ecuación para demostrar que el reclamo, el uso de $$ \frac{1}{z-z_j}=\frac{\bar{z}-\bar{z_j}}{|z-z_j|^2}. $$