¿Por qué es un requisito para la convexidad Brouwer fija puntos? En caso de que no "sin agujeros" ser lo suficientemente bueno?

Question

Brouwer del teorema de punto fijo:

Cada función continua $f$ a partir de un convexo compacto subconjunto $K$ de un espacio Euclídeo de a $K$ sí tiene un punto fijo.

Me pregunto por qué la palabra "convexo" está allí. A mí me parece que es necesario y suficiente para $K$ a que no tengan agujeros, que es la débil condición de convexidad.

Necesario: si $K$ tiene un agujero, entonces la asignación continua que simplemente rota puntos alrededor de este agujero no tiene ningún punto fijo.

Suficiente: Una unidad de disco en cualquier número de dimensiones tiene un punto fijo de Brouwer. Cualquier compacto, agujero-a menos establecer $K$ es homeomórficos a la unidad de disco en un número de dimensiones. Si hacemos un mapa de $K$ a la unidad de disco $D$ con un homeomorphism $h$, entonces se debe considerar la función de$D$$D$$h \circ f \circ h^{-1}$. Esta es una función continua de la unidad de disco a sí mismo (que es convexo y compacto), por lo que tiene un punto fijo de Brouwer $x$. A continuación,$h(f(h^{-1}(x))) = x$, lo $f(h^{-1}(x)) = h^{-1}(x)$, lo $h^{-1}(x)$ es un punto fijo de Brouwer $K$.

Lo que está mal con este argumento?

Answer 1

El espíritu de tu pregunta es correcta-la hipótesis de convexidad es innecesario, y, de hecho, cualquier subconjunto compacto de un espacio Euclídeo sin "agujeros" tiene el punto fijo de la propiedad. En particular:

Teorema. Deje $K$ ser cualquier compacto, localmente contráctiles subespacio de $\mathbb{R}^n$ cuya reducción de homología de grupos todos son triviales. A continuación, cada mapa continuo $f\colon K\to K$ tiene un punto fijo.

Aquí "localmente contráctiles" y "reducido homología de grupos son triviales" son una formulación precisa de lo que significa para un espacio que no tiene "agujeros". Este teorema fue demostrado por Lefschetz, y se desprende de la famosa Lefschetz teorema de punto fijo. Específicamente, el Lefschetz punto fijo es el teorema generalmente se indica sólo para simplicial complejos, pero se sabe que todas las compactas, localmente contráctiles subconjunto de $\mathbb{R}^n$ es un retractarse de un complejo simplicial, a partir de la cual el teorema anterior de la siguiente manera.

Por cierto, el razonamiento que dio no es correcto, porque un compacto, agujero-a menos establecer $K$ no necesita ser homeomórficos a un disco. Para un ejemplo simple, la unión de un número finito de segmentos de línea en $\mathbb{R}^2$ encuentro en un punto es compacto y el "agujero" (en el sentido del teorema anterior), pero no es homeomórficos a un disco en cualquier dimensión. El teorema anterior dice que cualquier mapa de un espacio para sí mismo debe tener un punto fijo.

Si usted está familiarizado con la topología algebraica, usted podría preguntarse por qué el local de la contractibilidad condición es necesaria. Hatcher Topología Algebraica da un contraejemplo al teorema anterior en el caso de que $K$ no es localmente contráctiles. En particular, vamos a $\varphi\colon \mathbb{R}\to (a,b)$ ser un homeomorphism, vamos a $S$ ser la espiral $r = \varphi(\theta)$$\mathbb{R}^2$, y deje $K$ ser la unión de $S$ con los círculos $r=a$$r=b$.

A continuación, $K$ es compacto y no tiene trivial reducción de homología de grupos, pero hay un mapa de $f\colon K\to K$ sin puntos fijos. Específicamente, $f$ puede ser el mapa que "gira" hacia la izquierda por cualquier ángulo $0<\theta<2\pi$, donde los puntos de la espiral se mueven por un ángulo de $\theta$ a lo largo de la espiral. Observe que en este ejemplo no está conectado localmente, y es por lo tanto localmente no contráctiles.

Answer 2

Es que un conjunto compacto convexo es homeomorfa a la bola de la unidad. Y el teorema del punto fijo para esos espacios.

Answer 3

Mejor también exige conectividad en su definición de "holeless" porque de lo contrario puede tomar dos círculos (compacto) y tienen una función continua que sólo les. Convex implica camino conectado, por lo que Brouwer no se aplica.