¿Por qué es la regla de Leibniz un elemento suficiente para la construcción del espacio tangente?

Question

Esta es una muy suave pregunta, pero me pregunto si alguien puede arrojar algo de luz sobre por qué es que el producto de la regla (y linealidad) proporcionar exactamente el requisito para el espacio de derivaciones a ser el espacio de la tangente? Una dependencia similar en el producto regla parece ventana emergente si desea definir la cotangente del espacio en la p $m_p / m_p^2$ en el tallo, en la página de la gavilla de funciones diferenciables.

¿Qué es lo que hace que el producto de la regla de la identificación de la característica de diferenciación entre todas las funciones lineales?

Answer 1

Supongo que esto básicamente se reduce a (una forma simple de) Sastre del teorema. Si usted tiene un lineal mapa de $D$ que se cumple la regla del producto, luego de fuga en constantes, ya que $D(1)=D(1\cdot 1)=D(1)\cdot 1+1\cdot D(1)=2D(1)$. Por otra parte, si $f$ $g$ son dos funciones de fuga en un punto de $x$, $D(fg)=D(f)g+fD(g)$ se desvanece en $x$. Ahora, la simple forma de Taylor Teorema de la que me refería es que usted puede escribir cualquier función de $f$ alrededor de un punto de $x$ como una constante, además de un lineal mapa actuando en $(y-x)$ más algo que se desvanece a segundo orden en $x$ y por lo tanto se puede escribir como un producto de dos funciones de fuga en $x$. Por eso ves que $D(f)$ sólo depende de la parte lineal en el Taylor-desarrollo, que es exactamente lo que usted desea de una derivada direccional.