¿Cambiando el orden de integración sin dibujo?

Question

Al cambiar el orden de las integrales dobles, siempre he confiado en bosquejar la región. He llegado recientemente a través de este ejemplo en el MSE, por @FelixMartin que parece evitar visual basado en el razonamiento y en un comentario debajo de él dice que es "muy bueno y limpio". Pero no tengo idea de lo que está pasando con la $\Theta()$. Por favor alguien puede darme una pista?

\begin{eqnarray*} \int_{0}^{8}\int_{\sqrt[3]{\vphantom{\large a}y\,}}^{2}{\rm f}\left(x, y\right)\,{\rm d}x\,{\rm d}y & = & \int_{0}^{8}\left\lbrack\int_{0}^{2}\Theta\left(x - \sqrt[3]{\vphantom{\large a}y\,} \right) {\rm f}\left(x, y\right)\,{\rm d}x\right\rbrack{\rm d}y \\ & = & \int_{0}^{2}\left\lbrack\int_{0}^{8}\Theta\left(x^{3} - y\right) {\rm f}\left(x, y\right)\,{\rm d}y\right\rbrack{\rm d}x \\ & = & \int_{0}^{2}\left\lbrack\int_{0}^{x^{3}} {\rm f}\left(x, y\right)\,{\rm d}y\right\rbrack{\rm d}x \end{eqnarray*}

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PS: lo siento por la copia literal, yo solo contado que iba a salvar a la gente algún tiempo.

Answer 1

$\Theta$ aquí se refiere a la Función escalón unitario (wiki: http://en.wikipedia.org/wiki/Heaviside_step_function). Se define simplemente como:

$$\Theta(x) = \left\{\begin{array}{lr} 1 & x \geq 0 \\ 0 & x < 0 \end{array}\right.$$

La utilidad de $\Theta$ es que permite expresar 'atajos' utilizando la notación de la función, y se puede utilizar para cambiar los límites de las integrales sin cambiar sus valores.

Así, por ejemplo, usted podría escribir:

$$\int_1^{10}f(x)\,dx = \int_0^{10}\Theta(x - 1)f(x)\,dx$$

La razón por la que son lo mismo es que $\Theta(x-1)$ es igual a cero en el intervalo de 0 a 1.

Esto explica la primera línea de la manipulación:

$$\int_{\sqrt[3]{y}}^{2}f(x,y)\, dx = \int_0^{2}\Theta(x - \sqrt[3]{y})f(x,y)\, dx$$

La segunda línea de la manipulación es el teorema de Fubini, junto con la observación de que $x - \sqrt[3]{y} \geq 0$ si y sólo si $x^3 - y \geq 0$, lo $\Theta(x - \sqrt[3]{y}) = \Theta(x^3 - y)$.

Tenga en cuenta que usted puede expresar de DOS puntos de corte con dos instancias de la teta de la función:

$$\int_0^{1}\int_{y^2}^{y}f(x,y)\,dxdy = \int_0^1\int_0^1 \Theta(x - y^2)\Theta(y - x)f(x,y)\, dxdy$$