Interpretación geométrica del electromagnetismo

Question

Para la gravedad, tenemos la Relatividad General, que es una teoría geométrica para la gravitación.

¿Existe un análogo para el electromagnetismo?

Answer 1

1. La teoría Kaluza-Klein. Esto es similar a la Relatividad General, pero en lugar de tres dimensiones espaciales más el tiempo, hay cuatro dimensiones espaciales más el tiempo. La cuarta dimensión es cíclica y satisface algunas condiciones de simetría. El potencial electromagnético aparece como los componentes de la métrica en la cuarta dimensión espacial. Se suele rechazar con el argumento de que no podemos ver la cuarta dimensión espacial, o que se hace demasiado pequeña para ser vista. De hecho, las condiciones de simetría a lo largo de esta dimensión la hacen indistinguible, y moverse a lo largo de ella es equivalente a una transformación gauge. Por lo tanto, esta es la única evidencia predicha por la teoría, sin importar lo grande que hagamos la dimensión cíclica. Lo que nos lleva a

2. Teoría Gauge. Como menciona el DImension10 Abhimanyu PS, el electromagnetismo puede ser descrito por una teoría gauge cuyo grupo gauge es $U(1)$ el potencial electromagnético se convierte en una conexión, y el campo electromagnético en la curvatura asociada a la conexión. De hecho, es el grupo de simetría de la cuarta dimensión en la teoría de Kaluza-Klein. Para los matemáticos, una teoría gauge se describe en términos de haces principales, que, si el grupo gauge es $U(1)$ son de hecho espacios de 4+1 dimensiones, que satisfacen condiciones de simetría como en la teoría de Kaluza-Klein. Así que, matemáticamente, son equivalentes, aunque hay variaciones de la teoría de Kaluza-Klein que no pueden ser descritas por una teoría gauge estándar.

3. Teoría Rainich-Misner-Wheeler. Hay una forma de obtener el electromagnetismo a partir de la geometría, en el espaciotiempo 4d de la Relatividad General. Rainich fue capaz de dar en 1925 las condiciones necesarias y suficientes para que el espacio-tiempo se curve de una manera que corresponde al campo electromagnético. Por la ecuación de Einstein, la curvatura del espaciotiempo está relacionada con el campo. Así que Rainich decidió ver si se puede obtener el campo electromagnético a partir de la curvatura, utilizando la ecuación de Einstein. Encontró algunas condiciones necesarias y suficientes para el tensor de Ricci, que son de naturaleza algebraica y diferencial. Esto funciona para el electromagnetismo sin fuentes. Existe una ambigüedad, dada por la dualidad de Hodge entre los campos eléctrico y magnético, para las ecuaciones de Maxwell sin fuente. Así que, básicamente, el campo se recupera hasta un factor de fase llamado complexión. La idea fue redescubierta por Misner y Wheeler tres décadas después, quienes la combinaron con los agujeros de gusano de Einstein y Rosen. Interpretaron los extremos de los agujeros de gusano como pares de partículas-antipartículas cargadas eléctricamente. El campo electromagnético, en esta visión, no necesita una fuente, ya que las líneas de campo atraviesan el agujero de gusano. Aunque esta idea puede parecer extraña, permitió obtener "carga sin carga", y fijar el factor de fase indeterminado. Este modelo de partículas tenía algunos problemas, por ejemplo no podía explicar el espín, y Misner y Wheeler lo abandonaron.

Answer 2

+1: Me gustan las preguntas sobre estas cosas; la interpretación geométrica de las cosas. Y me gusta especialmente esta pregunta.

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(Sí, lo hay.)

En electrodinámica cuántica el grupo gauge para electromagnetismo es $U(1)$ .

Ahora, la clave aquí es que el electromagnetismo es entonces La curvatura del $U(1)$ paquete .

Esta no es la única conexión geométrica entre la Relatividad General y la Teoría Cuántica de Campos. En el mismo contexto, las derivadas covariantes es la relatividad general son tales que $\nabla_\mu-\partial_\mu$ mide más o menos la gravedad, en cierto modo, mientras que esto también es cierto en la QFT, donde a algunas constantes, $\nabla_\mu-\partial_\mu=ig_sA_\mu$ .

Hay que tener en cuenta que ambos se encuentran en un contexto similar.

Answer 3

Sin complicarse, Einstein predijo y demostró que las ondas/fotones electromagnéticos describen una "curvatura" del espacio-tiempo conocida como "geodésica respecto a un cuerpo de masa". Nada escapa a las geodésicas que conocemos hasta ahora.