Integral de la $\int_0^{\pi/2} \frac {\sqrt{\sin x}}{\sqrt {\sin x} + \sqrt {\cos x}}$dx

Question

Pregunta:

$$\int_0^{\pi/2} \frac {\sqrt{\sin x}}{\sqrt {\sin x} + \sqrt {\cos x}}\mathrm dx.$$

Lo que hicimos:

tratamos de usar $t=\tan (\frac x2)$ y también dividiendo tanto el numerador y el denominador por $\sqrt {\cos x}$, con el tiempo, utilizando el segundo método llegamos a esto: $\displaystyle \int \frac {2t+2}{t^2+2t-1}-\frac {2}{t^2+2t-1} +\frac {\sqrt{2t(1-t^2)}}{t^2+2t-1} $, por lo que sabemos cómo resolver la primera y la segunda integral, pero no en la tercera...

Gracias

Answer 1

Alternativamente, si llamamos a nuestros integral de la $I$ y realizar una variable ficticia de sustitución, todo se cae bastante bien! $$I = \int_{0}^{\pi/2} \dfrac{\sqrt{\sin x}}{\sqrt{\sin x} + \sqrt{\cos x}} \text{ d}x \ \overset{x \mapsto \frac{\pi}{2} - x}= \ \int_{0}^{\pi/2} \dfrac{\sqrt{\cos x}}{\sqrt{\sin x} + \sqrt{\cos x}} \text{ d}x $$ Adding the two integrals together gives $$ 2I = \int_{0}^{\pi/2} \dfrac{\sqrt{\sin x} + \sqrt{\cos x}}{\sqrt{\sin x} + \sqrt{\cos x}} \text{ d}x = \int_{0}^{\pi/2} \text{d}x = \dfrac{\pi}{2} \implies \ I = \dfrac{\pi}{4}$$

Answer 2

Usted ha mencionado dividiendo numerador y denominador por $\sqrt{\cos x}$.

$$\int\frac{\sqrt{\tan x}}{\sqrt{\tan x}+1}dx$$

¿Usted se considera la sustitución de $x=\tan^{-1}u^2$?

$$dx=\frac{2udu}{1+u^4}$$

$$\int\frac{2u^2du}{(u+1)(u^4+1)}$$

No recuerdo de improviso cómo factor de $u^4+1$ en cuadráticas (probablemente de uso de la cuarta raíces de $-1$), pero usted debería ser capaz de utilizar fracciones parciales a partir de ahí.