Un teorema ergódico sobre el círculo

Question

Dejemos que $S^1$ sea un círculo (es decir, una circunferencia cerrada $1$ -) y que $F$ sea un campo vectorial suave no evanescente en $S^1$ . Denote por $(t,x) \mapsto \Phi_t^x$ el flujo generado por $F$ .

Quiero demostrar que existe una medida de probabilidad absolutamente continua $\pi$ con densidad estrictamente positiva $\rho$ tal que para toda función acotada medible $f$ y cada $x\in S^1$

$ \lim_{t\rightarrow \infty} \frac{1}{t}\int_0^t f(\Phi_s^x) ds \ = \ \int_{S^1} f(x) \pi (dx) \ \ \ \ $ (*)

De (*) se deduce que $\pi$ es invariable, es decir $\int_{S^1} f(\Phi_t^x) \pi(dx) \ = \ \int_{S^1} f(x) \pi(dx)$ . También me gustaría demostrar que $\pi$ es la única medida invariante.

Lo que hice hasta ahora:

Denota por $\tau$ el tiempo necesario para volver en $x$ cuando se parte de $x$ y siguiendo el flujo $\Phi$ y denotar por $n_t$ el número de veces $t\mapsto \Phi_t^x$ devuelto en $x$ hasta el momento $t$ . Observe que $0<\tau<\text{const}$ y que ambos $\tau$ y $n_t$ son independientes de $x$ .

Entonces $ \frac{1}{t}\int_0^t f(\Phi_s^x) ds \ = \ \frac{n_t\tau}{t} \ \frac{1}{n_t } \sum_{k=1}^{n_t} \ \frac{1}{\tau}\int_0^{\tau} f(\Phi_s^x) ds \ + \ \frac{1}{t} \int_{n_t\tau}^t f(\Phi_s^x) ds $

Así que utilizando la acotación de $f$ y de $t-n_t\tau$ y el hecho de que $\frac{n_t\tau}{t}\rightarrow 1$ Me dan por cada $x\in S^1$

$ \frac{1}{t}\int_0^t f(\Phi_s^x) ds \rightarrow \ \frac{1}{\tau}\int_0^{\tau} f(\Phi_s^x) ds $

con el lado derecho de hecho independiente de $x$ . Ahora supongo que debo utilizar algún teorema de representación de Riesz para las funcionales para demostrar la existencia de $\pi$ tal que para toda función acotada medible

$ \frac{1}{\tau}\int_0^{\tau} f(\Phi_s^x) ds \ = \ \int_{S^1} f(x) \pi (dx) $

¿Puede alguien indicar una referencia precisa o dar algún argumento alternativo (quizás más autocontenido)? Por el momento no tengo ninguna pista sobre cómo demostrar la existencia de $\rho$ (o encontrar un contraejemplo si no es cierto).

Answer 1

Permítame tratar de completar su argumento mostrando que hay una medida a.c. $\pi$ para lo cual $$ \frac{1}{\tau} \int_0^{\tau} f(\Phi_s^x) ds = \int_{S^1} f(x) \pi(dx) $$ donde $f \in C(S^1)$ es cualquier función continua (y el LHS es para un $x$ , digamos que $x = 0$ escribir $S^1 = \mathbb{R} / \mathbb{Z} \cong [0,1)$ ).

En primer lugar, hay que tener en cuenta que $\Phi_s^0 : [0,\tau) \to S^1$ es un difeomorfismo, y como el campo vectorial de este flujo es no evanescente, tiene una derivada temporal no evanescente $\frac{d}{ds} \Phi_s^0$ . Así que, $$ \frac{1}{\tau} \int_0^{\tau} f(\Phi_s^0) ds = \int_{S^1} f(x) h'(x) dx $$ por la fórmula de cambio de variables, donde $h :S^1 \to [0,\tau)$ es la inversa de $s \mapsto \Phi_s^0$ . Compruebe que $h'$ es no evanescente.