¿Qué es la línea recta?

Question

He encontrado la definición de línea en el espacio métrico .

Es general pero tiene dos problemas. Teniendo en cuenta que $\mathbb R^2$ equipó la distancia rectilínea, toda línea por esta definición contiene un rectángulo y no es una cadena. Además, es posible 3 puntos en una línea no colineal.

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Esto es lo que he pensado.

Dejemos que $<X,d>$ sea un espacio métrico cualquiera.
Definición 0 Punto $b$ se dice entre $a,c$ si $d(a,b)+d(b,c)=d(a,c)$

Definición 1 Un subespacio $S$ de $X$ es colineal si $\forall x\forall y \forall z[\mbox{exist one between the other two}]$

Definición 2 Un subespacio $L$ se llama línea si es un subespacio colineal máximo en $X$

La definición de conjunto colineal es la misma que la anterior si $|S|\le 3$ pero diferente en lo demás. Por esta definición un conjunto colineal es un conjunto colineal por la definición anterior pero la inversa no es válida.

Según esta definición, tiene 2 teoremas.

Teorema 1 Todo subconjunto de un conjunto colineal es colineal.

Teorema 2 Todo conjunto colineal puede extenderse a una línea.

1 se cumple por definición mientras que no se cumple por la definición anterior.

2 también es válida por la definición anterior pero requiere el lema de Zorn por la definición actual.

Por lo tanto, un Corolario 3 Todo conjunto es colineal si está incluido en una línea

Por último, según la definición actual, cada línea de $\mathbb R^2$ distancia rectilínea equipada es en realidad una curva ya no contiene rectángulos adecuados.

Ahora se ve mejor. Mi pregunta :¿Es una definición precisa?

Answer 1

Es una definición precisa, pero una definición global basada en la distancia no coincide con el concepto local de geodésica:

• en espacios que no son geodésicamente completos (como la línea o el plano con algunos puntos eliminados), la línea puede tener agujeros

• el agujero puede ser tan grande que una línea sólo contiene sus dos puntos extremos, como en el semiplano superior euclidiano $y>0$ con con dos $y=0$ puntos añadidos en la frontera . La "línea" entre los dos puntos de la frontera son esos puntos y nada más.

• en los espacios que tienen más de una geodésica entre dos puntos, como un cilindro o un toro, el requisito de colinealidad excluye las geodésicas que se envuelven muchas veces

• las uniones de segmentos de línea (con solapamiento no vacío entre dos segmentos cualesquiera) no satisfacen la colinealidad para las geodésicas de envoltura múltiple en un cilindro

• Los bucles geodésicos, como los grandes círculos en una esfera o las latitudes en un cilindro, presentan el mismo problema, donde todos los arcos suficientemente cortos son líneas métricas, pero el bucle completo no tiene la propiedad de colinealidad.

Answer 2

Así que usted dice espacio métrico y yo pienso en topología. las líneas en topología son usualmente definidas por una función desde el intervalo unitario al espacio. entonces usted puede decir para cualquier $x_{i}$ lo mismo que dijiste para b en la definición 0. Espero que eso ayude.

Answer 3

La definición es válida. Sin embargo, todavía hay algunas líneas "muy inusuales" en el espacio ${\mathbb R}^2$ equipado con la distancia rectilínea. Por ejemplo, el conjunto $\{(0,0),(1,0),(0,1),(1,1)\}$ es una línea según esta definición (es un conjunto colineal máximo).

Podemos reforzar su definición de la siguiente manera.

Definición 1. Digamos que un subespacio $S$ de un espacio métrico $(X, d)$ satisface el $k$ -condición colineal si para cada punto $x_1, \dots, x_k$ en $S$ existe una permutación $\pi$ tal que $$\sum_{i=1}^{k-1}d(x_{\pi(i)},x_{\pi(i+1)}) = d(x_{\pi(1)},x_{\pi(k)}).$$

Trivialmente, cada conjunto $S$ satisface la condición de 2 colineales. Un conjunto $S$ satisface la condición de 3 colineales precisamente cuando es colineal según su definición. Claramente, si un conjunto satisface la $k$ condición colineal que también satisface la $k+1$ -(podemos dejar que $x_{k+1} = x_k$ ). Sin embargo, el conjunto $\{(0,0),(1,0),(0,1),(1,1)\}$ satisface la condición de 3 colineales pero no la de 4 colineales. Así que, en general, la condición de 4 colineales es estrictamente más fuerte que la condición de 3 colineales.

Pregunta. ¿Podemos conseguir condiciones cada vez más fuertes aumentando $k$ ? Por ejemplo, ¿la condición de 5 colineales es más fuerte que la de 4 colineales?

Resulta que $4$ -La condición de colinealidad implica $k$ -condiciones colineales para todos $k$ . Esto, en particular, se desprende de la caracterización de cuatro puntos de la métrica del árbol. Este resultado se puede replantear como sigue:

Un conjunto $S$ satisface la condición de 4 colineales si y sólo si existe una incrustación isométrica $$\phi:S \hookrightarrow{\mathbb R},$$ es decir, hay un mapa $\phi:S\to\mathbb R$ s.t. $d(x,y) = |\phi(x) - \phi(y)|$ por cada $x$ y $y$ en $S$ .

De forma similar a su definición, damos la siguiente definición de línea.

Definición 2. Un subespacio $S$ de un espacio métrico $(X, d)$ es una línea si es un subespacio maximal de $(X,d)$ satisfaciendo la condición de 4 colineales.

Ahora cada línea $S$ en un espacio de Banach (en particular, en ${\mathbb R}^2$ equipado con la distancia rectilínea) es una curva. Además, existe una parametrización natural $\gamma(t)$ de $S$ ( $\gamma:{\mathbb R} \to S$ ) tal que $d(\gamma(s), \gamma(t)) = |s-t|$ por cada $s,t\in \mathbb R$ .