Demostrar: si $a,b\in G$ conmuta con probabilidad de $>5/8$, $G$ es abelian

Question

Supongamos que $G$ es un grupo finito. Si $P( ab=ba ) >5/8$, demuestran $G$ es abelian.

Answer 1

Dividido en dos casos: (i) $G/Z(G)\cong C_2\times C_2$ es de Klein-$4$, y (ii) $Z(G)$ índice de $\ge6$. Puesto que el cociente $G/Z(G)$ no puede ser trivial cíclico, estos dos casos cubrir todas las bases. Deje $Z=Z(G)$.

$\rm\color{Blue}{(i)}$: Escriba $G=Z\sqcup aZ\sqcup bZ\sqcup cZ$. Compruebe $C_G(g)=Z\cup aZ$$g\in aZ$, y lo mismo para las otras dos cosets $bZ$$cZ$, mientras que la de curso $C_G(g)=G$ si $g\in Z$. El uso de $[\Omega]$ para la Iverson soporte (es decir, $[\Omega]=1$ si $\Omega$ es cierto, y $[\Omega]=0$ lo contrario). Calcular

$$P=\frac{1}{|G\times G|}\sum_{a\in G}\sum_{b\in G}[ab=ba]=\frac{1}{|G|^2}\sum_{a\in G}|C_G(a)|=\frac{1}{|G|^2}\left(\sum_{a\in Z}|G|+\sum_{a\in G\setminus Z}\frac{|G|}{2}\right)$$

$$=\frac{1}{|G|^2}\left(|Z||G|+|G\setminus Z|\frac{|G|}{2}\right)=\frac{1}{|G|^2}\left(\frac{|G|}{4}|G|+\frac{3|G|}{4}\frac{|G|}{2}\right)=\frac{1}{4}+\frac{3}{4}\cdot\frac{1}{2}=\frac{5}{8}.$$

$\rm\color{Blue}{(ii)}$: Comienzo de la misma manera como en el anterior, la escritura

$$P=\frac{1}{|G|^2}\sum_{a\in G}|C_G(a)|=\frac{1}{|G|^2}\left(\sum_{a\in Z}|G|+\sum_{a\in G\setminus Z}|C_G(a)|\right).$$

El uso de $|Z|\le|G|/6$$|C_G(a)|\le|G|/2$, se obtiene el límite superior

$$P\le\frac{1}{|G|^2}\left(|G||Z|+\big(|G|-|Z|\big)\frac{|G|}{2}\right)=\frac{1}{|G|^2}\left(\frac{|G|^2}{2}+|Z|\frac{|G|}{2}\right)\le\frac{1}{2}+\frac{1}{6}\cdot\frac{1}{2}=\frac{7}{12}.$$

Nota:$7/12<5/8$. Por lo tanto, hemos demostrado que:

Teorema. $P>\frac{5}{8}$ fib $G$ es abelian, $P=\frac{5}{8}$ fib $G/Z(G)$ es de Klein-$4$, e $P\le\frac{7}{12}$ lo contrario.

Hay un par de mancha de carácter teórico de las pruebas en mathoverflow, así como obligar a las probabilidades de solvencia, nilpotence y cardinalidad impar. Tenga en cuenta el $5/8$ unido es cierto compacto topológicos, grupos, donde recogemos $(a,b)\in G\times G$ según la normalizado medida de Haar. Una fórmula para la probabilidad de desplazamientos de los $P$ que yo no discutir anterior es como sigue:

$$P=\frac{1}{|G|^2}\sum_{a\in G}|C_G(a)|=\frac{1}{|G|}\sum_{a\in G}\frac{1}{[G:C_G(a)]}=\frac{1}{|G|}\sum_{i=1}^k\sum_{a\in C_i}\frac{1}{|C_i|}=\frac{1}{|G|}\sum_{i=1}^k\frac{|C_i|}{|C_i|}=\frac{k}{|G|},$$

donde $C_1,\cdots,C_k$ son las clases conjugacy de $G$ $k$ es el número de clases conjugacy.