Es $\langle a,b | a^2b^2=1 \rangle$ un semidirect producto de $\mathbb{Z}^2$$\mathbb{Z}_2$?

Question

Todo está en el título: Es $\langle a,b | a^2b^2=1 \rangle$ un semidirect producto de $\mathbb{Z}^2$$\mathbb{Z}_2$? Creo que es el caso, pero no sé cómo demostrarlo.

Answer 1

El cambio de $b$ $b^{-1}$puede reescribir la presentación como $$G=<a, b| a^2=b^2>$$ El grupo no es un semidirect producto desde el grupo $G$ no tiene no trivial de elementos finitos de orden. Una forma de ver que es darse cuenta de que $G=Z*_Z Z$ es un producto gratuito con la fusión de dos infinito cíclico de los grupos generados por $a, b$ amalgamado a lo largo de sus subgrupos $a^2, b^2$. Los elementos finitos orden de un producto gratuito con la fusión debe ser conjugado a uno de los factores, así que no hay de torsión.

El elemento $a^2$ ( o $b^2$) es central y genera una infinita subgrupo cíclico $C$. A continuación, $Q=G/C$ tiene la presentación $<A,B|A^2=B^2=1>$ que es el infinito diedro grupo $Q=Z_2*Z_2$. El grupo $Q$ se tiene una infinita subgrupo cíclico $K$ generado por $AB$, con un cociente de $Z_2$; es un semidirect producto de $K=Z$$Z_2$.

Answer 2

Si quieres un semidirect producto de $\mathbb{Z}$ $\mathbb{Z}_2$ un extra de relación se requiere: se necesita $a^2=1=b^2$. La presentación se da en el infinito diedro grupo (es decir, el semidirect producto de la cuestión).

Para ver esto puso a $t=ab$. Luego, si nos llame a su grupo de $G$, $G\cong\langle a,t\rangle$ y la definición de la relación llega a ser $ata^{-1}=t^{-1}$. Ahora sigue que $\langle t\rangle$ es normal en $G$ $\langle a\rangle$ actuando en $\langle t\rangle$ por conjugación con el kernel $\langle a^2\rangle$. Con el extra de la relación anterior, este kernel es trivial. Por lo tanto $G\cong\langle t\rangle\rtimes\langle a\rangle\cong\mathbb{Z}\rtimes\mathbb{Z}_2$.

Sin el extra de relación con el grupo es isomorfo a $\langle a,t\ |\ ata^{-1}=t^{-1}\rangle$, que es también conocida como la Baumslag-Solitar grupo $BS(1,-1)$.

Answer 3

Sí...si lo que en realidad quiso decir fue $\,\langle\,a\,,\,b\;|\;a^2=b^2=1\,\rangle\,$. Esto es $\, C_2*C_2=\,$ el producto libre de dos grupos de orden dos, también conocido como el infinito diedro grupo. Creo que la tuya es la que falta el relator $\,b^2=1\,$

Cada presentación de un grupo da algunas ideas interesantes en su estructura...