Paralelepípedo $P$ circunscrito alrededor del elipsoide $S$: longitud de la diagonal principal de a $P$ sólo depende de $S$, la leche de fórmula.

Question

Deje $S$ ser un elipsoide en $\mathbb{R}^n$ (como en mi anterior pregunta aquí), y deje $P$ ser un paralelepípedo tal que $S$ está inscrito en $P$ (en particular, cada cara de $P$ es tangente a $S$). Sin embargo, no se requieren los bordes de $P$ a ser paralelos a los ejes de $S$; en particular, $S$ no determina el $P$ único.

• ¿Cuál es la forma más fácil de ver que la longitud de la diagonal principal de a $P$ sólo depende de $S$?
• ¿Qué es una fórmula para esta longitud en términos de los coeficientes $a_1, \dots, a_n$ introducido por mi mencionados anterior pregunta aquí?

Answer 1

$ \newcommand{\n}[1]{\overrightarrow{\boldsymbol{n}}_{#1}} \newcommand{\v}{\overrightarrow{\boldsymbol{v}}} \newcommand{\Q}{\overrightarrow{Q}} \newcommand{\T}[1]{T_{#1}} \newcommand{\x}{x_0}%{\chi} \newcommand{\s}{y_0}%{\gamma} $ Si entiendo tu pregunta correctamente, entonces, la declaración de

$\,\ldots\,$ de la longitud de la diagonal principal de a $\,P\,$ sólo depende de $\,S\,$

no es correcta.

Supongo que por la diagonal principal sea el más grande en el espacio de las diagonales. La longitud dependerá no sólo de la ecuación de $\,S,\,$, pero también en la elección de los puntos de tangencia.

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Ecuación General en $\,2D\,$

Para fines de demostración, vamos nos limitamos a $\,2D\,$ caso:

Dada la elipse $\,S\,$ inscrita en paralelogramo $\,P\,$ queremos encontrar la longitud de su diagonal principal.

Con el fin de construir el paralelogramo $\,P\,$ necesitamos

1. Elegir dos diferentes puntos de la elipse $\,S\,$
2. Escribir tangente líneas de este puntos y para sus opuestos
   • esto nos va a dar las ecuaciones de las líneas en las que los bordes de las $\,P\,$ mentira
3. Encontrar los puntos de intersección de estas líneas
   • esto nos dará las coordenadas de los vértices de $\,P\,$
4. Calcular la distancia máxima entre los vértices,
   • esto nos dará la longitud de la diagonal principal de a $\,P\,$

Es posible mostrar que la distancia máxima dependerá de la elección de los puntos de tangencia, aunque requiere algunos tediosos cálculos. En su lugar, permítanme escribir ecuaciones generales para los bordes de las $\,P\,$ y el uso de ellos en un contraejemplo.

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Ecuaciones generales

Deje $\,S\,$ ser una elipse con semi ejes $a$ $b$ inscrito en un paralelogramo $\,P$:

$$ S = \left\lbrace \big( x,y \big) \in \mathbb R^2 \; \Big\vert \; \ \frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1 \right\rbrace \quad \text{ con el gradiente } \quad \nabla S = \begin{bmatrix} \frac{2}{a^2} x \\ \frac{2}{b^2} y \end{bmatrix} $$

Nos deja denotar $\,\T Q\,$ la línea tangente a $\,S\,$ a un punto de $\,Q = \big(\,\x, \y\,\big)\,$

\begin{align} \T Q & = \left\lbrace \, \v \in \mathbb R^2 \,\Big\vert \;\, \n Q \cdot \left( \v - \Q \right) = \overrightarrow 0\, \right\rbrace \\ & = \left\lbrace\begin{bmatrix} x \\ y \end{bmatrix} \in \mathbb R^2 \; \Big\vert \; \ \begin{bmatrix} \frac{2}{a^2} \,\x \\ \frac{2}{b^2} \,\y \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix} x-\x \\ y-\y \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 \\ 0 \end{bmatrix} \right\rbrace \\ & = \left\lbrace \big( x,y \big) \; \Big\vert \; \ \frac{2\x}{a^2} \big(x \x \) + \frac{2\y}{b^2} \big(y - \y \big) = 0 \right\rbrace \end{align}

\begin{align} \text{where} \qquad \qquad \v = \begin{bmatrix} x \\ y \end{bmatrix} \in \mathbb R^2, \qquad \n Q = \Delta S \,\Big\vert_{Q} = \begin{bmatrix} \frac{1}{a^2} \,\x \\ \frac{1}{b^2} \,\y \end{bmatrix}, \qquad \Q = \overrightarrow{OQ} = \begin{bmatrix} \x \\ \y \end{bmatrix} . \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad\qquad \end{align}

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Contraejemplo

Suponga que el semi eje de $\,S\,$ $\,a=2\,$ $\,b=1,\,$ $%\begin{align} \ S = \left\lbrace \big( x,y \big) \in \mathbb R^2 \; \Big\vert \; \ \frac{x^2}{2^2} + \frac{y^2}{1^2} = 1 \right\rbrace .%\end{align} $

Caso 1:
Denotan puntos tangentes como $\,A=\big(\,-2,0\,\big),\,$ $\,B=\big(\,0, 1\,\big),\,$ $\,C=\big(\, 2,0\,\big),\,$ $\,D=\big(\,0,-1\,\big).\,$
Entonces los vértices de $\,P_1\,$ $\,I=\big(\,-2,-1\,\big),\,$ $\,J=\big(\,-2, 1\,\big),\,$ $\,K=\big(\, 2, 1\,\big),\,$ $\,L=\big(\, 2,-1\,\big),\,$
Entonces la longitud de la diagonal principal es igual a $\,2\sqrt{5}.\,$

Caso 2:
Denotan puntos tangentes como
$$\,M = \left(\, -\sqrt{2}, \dfrac{\sqrt{2}}{2}\,\right),\quad \,N = \left(\, -\sqrt{2}, -\dfrac{\sqrt{2}}{2}\,\right),\quad \,O = \left(\, \sqrt{2}, -\dfrac{\sqrt{2}}{2}\,\right),\quad \,P = \left(\, \sqrt{2}, \dfrac{\sqrt{2}}{2}\,\a la derecha).$$

Entonces los vértices de $\,P_2\,$
$$\,E = \left(\, -2\sqrt{2}, 0 \,\right)\quad \,F = \left(\, 0, \sqrt{2} \,\right)\quad \,G = \left(\, 2\sqrt{2}, 0 \,\right)\quad \,H = \left(\, 0, -\sqrt{2} \,\right).$$

Entonces la longitud de la diagonal principal es igual a $\,4\sqrt{2}.\,$

Claramente en el segundo caso la diagonal principal es más grande.