Escribir $1$ en forma de $\frac{1}{t_1}+\cdots+\frac{1}{t_n}$

Question

Posible duplicado:
Demuestra que cualquier racional puede expresarse en la forma $\sum\limits_{k=1}^n{\frac{1}{a_k}}$ , $a_k\in\mathbb N^*$

¿Puede alguien ayudarme con este problema? Es un poco extraño:

Dejemos que $M$ sea un número natural. Demuestra que podemos escribir $1=\frac{1}{t_1}+\cdots+\frac{1}{t_n}$ de manera que todos los $t_i$ son números naturales distintos mayores que $M$ .

Answer 1

Otra posibilidad es utilizar el algoritmo Greedy de Fibonacci.

Comienza con $t_1=M+1$ y luego proceder inductivamente: definir $t_{n+1}$ para ser el menor número natural mayor que $t_n$ para lo cual $$\frac1{t_1}+\frac1{t_2}+\cdots+\frac1{t_{n+1}}\le1.$$ En otras palabras: $$\begin{array}{rl}t_1:=&M+1\\t_{n+1}:=&\min\lbrace m\in\mathbb N|\text{ }m>t_n\text{ and } \frac1{t_1}+\frac1{t_2}+\cdots+\frac1{t_{n}}+\frac1m\le1\rbrace=\\=&\max\left\lbrace\left\lceil(1-\frac1{t_1}-\frac1{t_2}-\cdots-\frac1{t_{n}})^{-1}\right\rceil,t_n+1\right\rbrace\end{array}$$ Esto terminará después de un número finito de pasos porque se puede demostrar que los numeradores de la fracción $1-\frac1{t_1}-\frac1{t_2}-\cdots-\frac1{t_n}$ comienzan a disminuir eventualmente. Esto también se conoce como el algoritmo de Fibonacci.

Answer 2

Una pista. $$\frac{1}{n} +\frac{1}{n} = \frac{1}{n} + \frac{1}{n+1}+\frac{1}{n(n+1)}.$$

Por ejemplo, digamos $N=3$ . Entonces podemos escribir: $$\begin{align*} 1 &= \frac{1}{4}+\frac{1}{4} + \frac{1}{4}+\frac{1}{4}\\ &= \frac{1}{4} + \frac{1}{5}+\frac{1}{20} + \frac{1}{5}+\frac{1}{20}+\frac{1}{5}+\frac{1}{20}\\ &= \frac{1}{4}+\frac{1}{5}+\frac{1}{20} + \frac{1}{6}+\frac{1}{30} + \frac{1}{21}+\frac{1}{420} + \frac{1}{6}+\frac{1}{30} + \frac{1}{21}+\frac{1}{420}\\ &= \frac{1}{4}+\frac{1}{5}+\frac{1}{20}+\frac{1}{6}+\frac{1}{30}+\frac{1}{21}+\frac{1}{420} + \frac{1}{7}+\frac{1}{42} + \frac{1}{31}\\ &\qquad\mathop{+}\frac{1}{930} + \frac{1}{22}+\frac{1}{462} + \frac{1}{421}+\frac{1}{176820}\\ &= \frac{1}{4}+\frac{1}{5}+\frac{1}{6}+\frac{1}{7}+\frac{1}{20}+\frac{1}{21}+\frac{1}{22}+\frac{1}{30}+\frac{1}{31}+\frac{1}{42}\\ &\qquad\mathop{+}\frac{1}{420}+\frac{1}{421}+\frac{1}{462}+\frac{1}{930}+\frac{1}{176820}. \end{align*}$$